Théorème de Thalès — sujets et exercices Brevet

Des sujets officiels du Diplôme national du brevet (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale) et des exercices originaux dans le format de l'épreuve, classés par chapitre, type et difficulté. Chaque exercice a sa correction détaillée rédigée par le site.

Les exercices marqués « Sujet officiel » reprennent fidèlement des énoncés réellement posés aux épreuves (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale, sujets publiés sur eduscol.education.fr et education.gouv.fr) ; leurs corrections sont rédigées par Mathrentree. Les exercices marqués « Exercice type » sont des exercices originaux rédigés dans le format et le niveau de l'épreuve.

Difficulté

Chapitre : Tous Algorithmique et programmation Arithmétique Calcul littéral Équations Fonctions linéaires et affines Géométrie dans l'espace Probabilités Proportionnalité Statistiques Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Trigonométrie

4 exercices corrigés.

Exercice type Brevet Théorème de Thalès Géométrie Moyen

Exercice 4 — Configuration en triangle

Dans un triangle ABC, le point M appartient au segment [AB] et le point N au segment [AC], avec (MN) parallèle à (BC). On donne AM = 3 cm, AB = 7,5 cm, AN = 4 cm et MN = 2,8 cm. Calculer AC et BC.

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Correction détaillée

Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C aussi, et (MN) est parallèle à (BC) : le théorème de Thalès s'applique et donne AMAB = ANAC = MNBC.

On calcule le rapport de réduction : AMAB = 37,5 = 0,4.

De 4AC = 0,4 on tire AC = 4 ÷ 0,4 = 10 cm.

De 2,8BC = 0,4 on tire BC = 2,8 ÷ 0,4 = 7 cm.

Les longueurs cherchées sont donc AC = 10 cm et BC = 7 cm.

Exercice type Brevet Théorème de Thalès Vrai/Faux justifié Moyen

Exercice 5 — Configuration papillon

Les droites (AB) et (CD) se coupent en O, avec A et B de part et d'autre de O, ainsi que C et D. On donne OA = 4 cm, OB = 6 cm, OC = 6 cm et OD = 9 cm. Affirmation : les droites (AC) et (BD) sont parallèles. Vrai ou faux ? Justifier, puis calculer BD sachant que AC = 5 cm.

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Correction détaillée

On compare les deux rapports : OAOB = 46 = 23 et OCOD = 69 = 23. Ces rapports sont égaux.

De plus, les points A, O, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que C, O, D : les points sont donc placés dans le même ordre sur les deux droites sécantes.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (BD) sont parallèles : l'affirmation est VRAIE.

Le théorème de Thalès donne alors OAOB = ACBD, soit 23 = 5BD, donc 2 × BD = 3 × 5 = 15.

On obtient BD = 152 = 7,5 cm.

Exercice type Brevet Théorème de Thalès Géométrie Moyen

Exercice 4 — Calcul avec la configuration de Thalès

Les points A, M, B sont alignés ainsi que A, N, C, avec M sur [AB] et N sur [AC]. On sait que AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 6 cm et MN = 5 cm. Sachant que (MN) et (BC) sont parallèles, calculer AC et BC.

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Correction détaillée

Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (MN) est parallèle à (BC) : le théorème de Thalès s'applique, avec AMAB = ANAC = MNBC.

Le coefficient d'agrandissement est ABAM = 104 = 2,5.

On en déduit AC = 2,5 × AN = 2,5 × 6 = 15 cm.

De même BC = 2,5 × MN = 2,5 × 5 = 12,5 cm. Donc AC = 15 cm et BC = 12,5 cm.

Exercice type Brevet Théorème de Thalès Problème Difficile

Exercice 5 — Hauteur d'un arbre

Pour mesurer la hauteur d'un arbre, Chloé, qui mesure 1,60 m, se place de façon que le sommet de son ombre coïncide avec celui de l'ombre de l'arbre. Elle se trouve alors à 2 m du sommet commun des ombres, et l'arbre est à 11 m de ce même point. Calculer la hauteur de l'arbre.

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Correction détaillée

On note S le sommet commun des ombres, C le sommet de la tête de Chloé et A le sommet de l'arbre. Chloé et l'arbre sont verticaux, donc leurs supports sont parallèles.

Les rayons du soleil donnent une configuration de Thalès : le rapport des distances au sol est égal au rapport des hauteurs.

On a donc 211 = 1,60h, où h est la hauteur de l'arbre en mètres.

Par produit en croix : h = 11 × 1,60 ÷ 2 = 17,6 ÷ 2 = 8,8. L'arbre mesure 8,8 m de haut.