Calcul littéral — sujets et exercices Brevet

Des sujets officiels du Diplôme national du brevet (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale) et des exercices originaux dans le format de l'épreuve, classés par chapitre, type et difficulté. Chaque exercice a sa correction détaillée rédigée par le site.

Les exercices marqués « Sujet officiel » reprennent fidèlement des énoncés réellement posés aux épreuves (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale, sujets publiés sur eduscol.education.fr et education.gouv.fr) ; leurs corrections sont rédigées par Mathrentree. Les exercices marqués « Exercice type » sont des exercices originaux rédigés dans le format et le niveau de l'épreuve.

Difficulté

Chapitre : Tous Algorithmique et programmation Arithmétique Calcul littéral Équations Fonctions linéaires et affines Géométrie dans l'espace Probabilités Proportionnalité Statistiques Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Trigonométrie

5 exercices corrigés.

Exercice type Brevet Calcul littéral Exercice de calcul Facile

Exercice 1 — Développer puis factoriser

On pose E = (2x + 3)² − (2x + 3)(x − 1). Développer et réduire E, puis factoriser E. Calculer enfin E pour x = −4.

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Correction détaillée

On développe le carré : (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9. On développe le produit : (2x + 3)(x − 1) = 2x² − 2x + 3x − 3 = 2x² + x − 3.

Donc E = 4x² + 12x + 9 − (2x² + x − 3) = 4x² + 12x + 9 − 2x² − x + 3 = 2x² + 11x + 12.

Pour factoriser, on repère le facteur commun (2x + 3) : E = (2x + 3)[(2x + 3) − (x − 1)] = (2x + 3)(2x + 3 − x + 1) = (2x + 3)(x + 4).

Pour x = −4, la forme factorisée donne E = (2 × (−4) + 3)(−4 + 4) = (−5) × 0 = 0. La valeur cherchée est E = 0.

Exercice type Brevet Calcul littéral Tâche complexe Moyen

Exercice 3 — Un programme de calcul mystérieux

Voici un programme de calcul : choisir un nombre non nul, lui ajouter 4, élever le résultat au carré, soustraire 16, puis diviser par le nombre choisi au départ. Tester le programme avec 5, puis démontrer que le résultat est toujours égal au nombre de départ augmenté de 8.

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Correction détaillée

Test avec 5 : 5 + 4 = 9, puis 9² = 81, puis 81 − 16 = 65, puis 65 ÷ 5 = 13. On obtient 13, c'est-à-dire 5 + 8.

On note x le nombre choisi, avec x ≠ 0. Les étapes donnent successivement x + 4, puis (x + 4)², puis (x + 4)² − 16, enfin [(x + 4)² − 16] ÷ x.

On développe le numérateur : (x + 4)² − 16 = x² + 8x + 16 − 16 = x² + 8x = x(x + 8).

Comme x ≠ 0, on simplifie : x(x + 8)x = x + 8.

Le résultat du programme est donc toujours x + 8, c'est-à-dire le nombre de départ augmenté de 8, ce qui confirme le test réalisé avec 5.

Exercice type Brevet Calcul littéral Exercice de calcul Facile

Exercice 2 — Développer et factoriser

On donne l'expression E = (2x + 3)² − (2x + 3)(x − 1). Développer puis réduire E, et donner également sa forme factorisée.

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Correction détaillée

On factorise d'abord par le facteur commun (2x + 3) : E = (2x + 3)[(2x + 3) − (x − 1)].

On réduit le crochet : (2x + 3) − (x − 1) = 2x + 3 − x + 1 = x + 4.

Donc la forme factorisée est E = (2x + 3)(x + 4).

En développant : E = 2x² + 8x + 3x + 12 = 2x² + 11x + 12.

Exercice type Brevet Calcul littéral Tâche complexe Difficile

Exercice 5 — Programme de calcul

Voici un programme de calcul : choisir un nombre, lui ajouter 5, multiplier le résultat par le nombre choisi, puis ajouter 6,25. Alice affirme que le résultat est toujours positif ou nul. Justifier cette affirmation.

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Correction détaillée

On note x le nombre choisi. Le résultat du programme est R = x(x + 5) + 6,25 = x² + 5x + 6,25.

On reconnaît une identité remarquable : (x + 2,5)² = x² + 5x + 6,25.

Donc R = (x + 2,5)², et un carré est toujours positif ou nul.

L'affirmation d'Alice est vraie. Le résultat est nul uniquement pour x = −2,5, et strictement positif sinon.

Exercice type Brevet Calcul littéral QCM Facile

Exercice 1 — Expression réduite

L'expression réduite de A = 3(x − 4) + 2(5 − x) est : a) x − 2 ; b) x + 2 ; c) 5x − 2 ; d) x − 22. Choisir la bonne réponse en justifiant.

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Correction détaillée

On développe chaque produit : 3(x − 4) = 3x − 12 et 2(5 − x) = 10 − 2x.

On additionne : A = 3x − 12 + 10 − 2x.

On regroupe les termes semblables : (3x − 2x) + (−12 + 10) = x − 2.

La bonne réponse est la a) : A = x − 2.