Arithmétique — sujets et exercices Brevet

Des sujets officiels du Diplôme national du brevet (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale) et des exercices originaux dans le format de l'épreuve, classés par chapitre, type et difficulté. Chaque exercice a sa correction détaillée rédigée par le site.

Les exercices marqués « Sujet officiel » reprennent fidèlement des énoncés réellement posés aux épreuves (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale, sujets publiés sur eduscol.education.fr et education.gouv.fr) ; leurs corrections sont rédigées par Mathrentree. Les exercices marqués « Exercice type » sont des exercices originaux rédigés dans le format et le niveau de l'épreuve.

Difficulté

Chapitre : Tous Algorithmique et programmation Arithmétique Calcul littéral Équations Fonctions linéaires et affines Géométrie dans l'espace Probabilités Proportionnalité Statistiques Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Trigonométrie

5 exercices corrigés.

Exercice type Brevet Arithmétique Problème Facile

Exercice 1 — Deux lignes de bus

À une gare routière, la ligne A part toutes les 18 minutes et la ligne B toutes les 24 minutes. Les deux lignes partent ensemble à 8 h 00. À quelle heure partiront-elles de nouveau ensemble pour la première fois ?

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Correction détaillée

Les instants de départ communs correspondent aux multiples communs de 18 et 24 : le premier après 8 h 00 est donné par le PPCM de 18 et 24.

On décompose : 18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3. Le PPCM s'obtient en prenant chaque facteur premier avec son plus grand exposant : PPCM(18 ; 24) = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.

Les deux lignes repartiront donc ensemble 72 minutes après 8 h 00, soit 1 h 12 min plus tard.

Le prochain départ simultané a lieu à 9 h 12.

Exercice type Brevet Arithmétique Exercice de calcul Difficile

Exercice 2 — Décomposition de 2025 et de 1350

On considère les nombres 2025 et 1350. Décomposer chacun d'eux en produit de facteurs premiers, en déduire leur PGCD puis leur PPCM, et rendre irréductible la fraction 2025/1350.

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Correction détaillée

Décomposition de 2025 : 2025 = 5 × 405 = 5 × 5 × 81 = 5² × 3⁴. Décomposition de 1350 : 1350 = 2 × 675 = 2 × 27 × 25 = 2 × 3³ × 5².

Le PGCD s'obtient en gardant les facteurs premiers communs affectés du plus petit exposant : PGCD = 3³ × 5² = 27 × 25 = 675.

Le PPCM s'obtient en gardant tous les facteurs premiers affectés du plus grand exposant : PPCM = 2 × 3⁴ × 5² = 2 × 81 × 25 = 4050.

Enfin 2025 = 675 × 3 et 1350 = 675 × 2, donc 2025/1350 = 32. Comme PGCD(3 ; 2) = 1, la fraction 32 est bien irréductible.

Exercice type Brevet Arithmétique Exercice de calcul Facile

Exercice 1 — Fraction irréductible

On considère la fraction 84126. Déterminer le PGCD de 84 et 126 par l'algorithme d'Euclide, puis rendre cette fraction irréductible.

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Correction détaillée

On applique l'algorithme d'Euclide : 126 = 1 × 84 + 42, puis 84 = 2 × 42 + 0. Le dernier reste non nul est 42.

Donc PGCD(84 ; 126) = 42.

On simplifie : 84 = 42 × 2 et 126 = 42 × 3, donc 84126 = 23.

La fraction irréductible est 23, car PGCD(2 ; 3) = 1.

Exercice type Brevet Arithmétique Problème Moyen

Exercice 2 — Lots de bonbons

Un pâtissier dispose de 144 caramels et de 180 nougats. Il veut réaliser des sachets identiques en utilisant tous les bonbons, chaque sachet contenant le même nombre de caramels et le même nombre de nougats. Quel est le nombre maximal de sachets ? Que contient alors chaque sachet ?

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Correction détaillée

Le nombre de sachets doit diviser à la fois 144 et 180 : il s'agit donc d'un diviseur commun, et le nombre maximal cherché est le PGCD de 144 et 180.

Algorithme d'Euclide : 180 = 1 × 144 + 36, puis 144 = 4 × 36 + 0. Donc PGCD(144 ; 180) = 36.

On peut réaliser au maximum 36 sachets.

Chaque sachet contient alors 144 ÷ 36 = 4 caramels et 180 ÷ 36 = 5 nougats.

Exercice type Brevet Arithmétique Vrai/Faux justifié Moyen

Exercice 1 — Nombres premiers entre eux

Léa affirme : « Les nombres 91 et 39 sont premiers entre eux. » A-t-elle raison ? Justifier la réponse.

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Correction détaillée

Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1.

Algorithme d'Euclide : 91 = 2 × 39 + 13, puis 39 = 3 × 13 + 0. Le PGCD est donc 13.

Comme 13 ≠ 1, les nombres 91 et 39 ne sont pas premiers entre eux : on a 91 = 13 × 7 et 39 = 13 × 3.

Léa a donc tort.