Équations — sujets et exercices Brevet

Des sujets officiels du Diplôme national du brevet (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale) et des exercices originaux dans le format de l'épreuve, classés par chapitre, type et difficulté. Chaque exercice a sa correction détaillée rédigée par le site.

Les exercices marqués « Sujet officiel » reprennent fidèlement des énoncés réellement posés aux épreuves (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale, sujets publiés sur eduscol.education.fr et education.gouv.fr) ; leurs corrections sont rédigées par Mathrentree. Les exercices marqués « Exercice type » sont des exercices originaux rédigés dans le format et le niveau de l'épreuve.

Difficulté

Chapitre : Tous Algorithmique et programmation Arithmétique Calcul littéral Équations Fonctions linéaires et affines Géométrie dans l'espace Probabilités Proportionnalité Statistiques Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Trigonométrie

5 exercices corrigés.

Exercice type Brevet Équations Exercice de calcul Facile

Exercice 2 — Deux équations du premier degré

Résoudre les équations suivantes : (a) 5x − 7 = 2x + 11 ; (b) 4(x − 3) = 2(x + 5).

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Correction détaillée

Équation (a) : on retranche 2x aux deux membres, ce qui donne 3x − 7 = 11, puis on ajoute 7 : 3x = 18.

En divisant par 3, on obtient x = 6. Vérification : 5 × 6 − 7 = 23 et 2 × 6 + 11 = 23, l'égalité est bien vérifiée.

Équation (b) : on développe chaque membre : 4x − 12 = 2x + 10. On retranche 2x : 2x − 12 = 10, puis on ajoute 12 : 2x = 22.

En divisant par 2, on obtient x = 11. Vérification : 4 × (11 − 3) = 32 et 2 × (11 + 5) = 32.

Les solutions sont donc x = 6 pour (a) et x = 11 pour (b).

Exercice type Brevet Équations Problème Difficile

Exercice 5 — Différence de carrés et équation produit

On considère l'expression A = 9x² − 25. Factoriser A, puis résoudre l'équation A = 0. Résoudre enfin l'équation (3x − 5)(3x + 5) = (3x − 5)(x + 2).

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Correction détaillée

On reconnaît une différence de deux carrés : 9x² − 25 = (3x)² − 5² = (3x − 5)(3x + 5).

L'équation A = 0 s'écrit (3x − 5)(3x + 5) = 0. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : 3x − 5 = 0 donne x = 53, et 3x + 5 = 0 donne x = −53.

Pour la seconde équation, on transpose tout dans le membre de gauche : (3x − 5)(3x + 5) − (3x − 5)(x + 2) = 0, puis on factorise par (3x − 5) : (3x − 5)[(3x + 5) − (x + 2)] = 0, soit (3x − 5)(2x + 3) = 0.

On applique de nouveau la règle du produit nul : 3x − 5 = 0 donne x = 53 ; 2x + 3 = 0 donne x = −32.

Les solutions sont donc x = 53 et x = −53 pour la première équation, x = 53 et x = −32 pour la seconde.

Exercice type Brevet Équations Exercice de calcul Facile

Exercice 3 — Résoudre une équation

Résoudre l'équation 5x − 7 = 2x + 11.

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Correction détaillée

On regroupe les termes en x dans le membre de gauche : 5x − 2x − 7 = 11, soit 3x − 7 = 11.

On ajoute 7 aux deux membres : 3x = 18.

On divise les deux membres par 3 : x = 6.

La solution de l'équation est x = 6. Vérification : 5 × 6 − 7 = 23 et 2 × 6 + 11 = 23.

Exercice type Brevet Équations Problème Moyen

Exercice 4 — Deux tarifs de piscine

Une piscine municipale propose deux tarifs. Tarif A : 3 € par entrée. Tarif B : un abonnement annuel de 40 € puis 1,50 € par entrée. À partir de combien d'entrées le tarif B devient-il plus avantageux que le tarif A ?

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Correction détaillée

On note n le nombre d'entrées. Le prix payé est 3n avec le tarif A, et 40 + 1,5n avec le tarif B.

Le tarif B est plus avantageux lorsque 40 + 1,5n < 3n, c'est-à-dire 40 < 1,5n.

On divise par 1,5 : n > 40 ÷ 1,5 ≈ 26,67.

Comme n est un nombre entier, le tarif B devient plus avantageux à partir de 27 entrées. Pour 27 entrées : tarif A = 81 € et tarif B = 80,50 €.

Exercice type Brevet Équations Tâche complexe Difficile

Exercice 6 — Périmètre et dimensions

Un rectangle a un périmètre de 46 cm. Sa longueur mesure 5 cm de plus que le double de sa largeur. Déterminer les dimensions de ce rectangle et son aire.

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Correction détaillée

On note ℓ la largeur en cm. La longueur vaut alors 2ℓ + 5.

Le périmètre s'écrit 2(ℓ + 2ℓ + 5) = 46, soit 2(3ℓ + 5) = 46, donc 6ℓ + 10 = 46.

On résout : 6ℓ = 36, donc ℓ = 6 cm. La longueur vaut 2 × 6 + 5 = 17 cm.

Vérification du périmètre : 2 × (6 + 17) = 46 cm. L'aire vaut 6 × 17 = 102 cm².