Des sujets officiels du Diplôme national du brevet (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale) et des exercices originaux dans le format de l'épreuve, classés par chapitre, type et difficulté. Chaque exercice a sa correction détaillée rédigée par le site.
Les exercices marqués « Sujet officiel » reprennent fidèlement des énoncés réellement posés aux épreuves (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale, sujets publiés sur eduscol.education.fr et education.gouv.fr) ; leurs corrections sont rédigées par Mathrentree. Les exercices marqués « Exercice type » sont des exercices originaux rédigés dans le format et le niveau de l'épreuve.
53 exercices corrigés.
Exercice 1 — Deux lignes de bus
À une gare routière, la ligne A part toutes les 18 minutes et la ligne B toutes les 24 minutes. Les deux lignes partent ensemble à 8 h 00. À quelle heure partiront-elles de nouveau ensemble pour la première fois ?
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Correction détaillée
Les instants de départ communs correspondent aux multiples communs de 18 et 24 : le premier après 8 h 00 est donné par le PPCM de 18 et 24.
On décompose : 18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3. Le PPCM s'obtient en prenant chaque facteur premier avec son plus grand exposant : PPCM(18 ; 24) = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.
Les deux lignes repartiront donc ensemble 72 minutes après 8 h 00, soit 1 h 12 min plus tard.
Le prochain départ simultané a lieu à 9 h 12.
Exercice type Brevet
Arithmétique
Exercice de calcul
Difficile
Exercice 2 — Décomposition de 2025 et de 1350
On considère les nombres 2025 et 1350. Décomposer chacun d'eux en produit de facteurs premiers, en déduire leur PGCD puis leur PPCM, et rendre irréductible la fraction 2025/1350.
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Décomposition de 2025 : 2025 = 5 × 405 = 5 × 5 × 81 = 5² × 3⁴. Décomposition de 1350 : 1350 = 2 × 675 = 2 × 27 × 25 = 2 × 3³ × 5².
Le PGCD s'obtient en gardant les facteurs premiers communs affectés du plus petit exposant : PGCD = 3³ × 5² = 27 × 25 = 675.
Le PPCM s'obtient en gardant tous les facteurs premiers affectés du plus grand exposant : PPCM = 2 × 3⁴ × 5² = 2 × 81 × 25 = 4050.
Enfin 2025 = 675 × 3 et 1350 = 675 × 2, donc 2025/1350 = 32. Comme PGCD(3 ; 2) = 1, la fraction 32 est bien irréductible.
Exercice 1 — Développer puis factoriser
On pose E = (2x + 3)² − (2x + 3)(x − 1). Développer et réduire E, puis factoriser E. Calculer enfin E pour x = −4.
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Correction détaillée
On développe le carré : (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9. On développe le produit : (2x + 3)(x − 1) = 2x² − 2x + 3x − 3 = 2x² + x − 3.
Donc E = 4x² + 12x + 9 − (2x² + x − 3) = 4x² + 12x + 9 − 2x² − x + 3 = 2x² + 11x + 12.
Pour factoriser, on repère le facteur commun (2x + 3) : E = (2x + 3)[(2x + 3) − (x − 1)] = (2x + 3)(2x + 3 − x + 1) = (2x + 3)(x + 4).
Pour x = −4, la forme factorisée donne E = (2 × (−4) + 3)(−4 + 4) = (−5) × 0 = 0. La valeur cherchée est E = 0.
Exercice 3 — Un programme de calcul mystérieux
Voici un programme de calcul : choisir un nombre non nul, lui ajouter 4, élever le résultat au carré, soustraire 16, puis diviser par le nombre choisi au départ. Tester le programme avec 5, puis démontrer que le résultat est toujours égal au nombre de départ augmenté de 8.
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Test avec 5 : 5 + 4 = 9, puis 9² = 81, puis 81 − 16 = 65, puis 65 ÷ 5 = 13. On obtient 13, c'est-à-dire 5 + 8.
On note x le nombre choisi, avec x ≠ 0. Les étapes donnent successivement x + 4, puis (x + 4)², puis (x + 4)² − 16, enfin [(x + 4)² − 16] ÷ x.
On développe le numérateur : (x + 4)² − 16 = x² + 8x + 16 − 16 = x² + 8x = x(x + 8).
Comme x ≠ 0, on simplifie : x(x + 8)x = x + 8.
Le résultat du programme est donc toujours x + 8, c'est-à-dire le nombre de départ augmenté de 8, ce qui confirme le test réalisé avec 5.
Exercice type Brevet
Équations
Exercice de calcul
Facile
Exercice 2 — Deux équations du premier degré
Résoudre les équations suivantes : (a) 5x − 7 = 2x + 11 ; (b) 4(x − 3) = 2(x + 5).
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Équation (a) : on retranche 2x aux deux membres, ce qui donne 3x − 7 = 11, puis on ajoute 7 : 3x = 18.
En divisant par 3, on obtient x = 6. Vérification : 5 × 6 − 7 = 23 et 2 × 6 + 11 = 23, l'égalité est bien vérifiée.
Équation (b) : on développe chaque membre : 4x − 12 = 2x + 10. On retranche 2x : 2x − 12 = 10, puis on ajoute 12 : 2x = 22.
En divisant par 2, on obtient x = 11. Vérification : 4 × (11 − 3) = 32 et 2 × (11 + 5) = 32.
Les solutions sont donc x = 6 pour (a) et x = 11 pour (b).
Exercice type Brevet
Équations
Problème
Difficile
Exercice 5 — Différence de carrés et équation produit
On considère l'expression A = 9x² − 25. Factoriser A, puis résoudre l'équation A = 0. Résoudre enfin l'équation (3x − 5)(3x + 5) = (3x − 5)(x + 2).
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On reconnaît une différence de deux carrés : 9x² − 25 = (3x)² − 5² = (3x − 5)(3x + 5).
L'équation A = 0 s'écrit (3x − 5)(3x + 5) = 0. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : 3x − 5 = 0 donne x = 53, et 3x + 5 = 0 donne x = −53.
Pour la seconde équation, on transpose tout dans le membre de gauche : (3x − 5)(3x + 5) − (3x − 5)(x + 2) = 0, puis on factorise par (3x − 5) : (3x − 5)[(3x + 5) − (x + 2)] = 0, soit (3x − 5)(2x + 3) = 0.
On applique de nouveau la règle du produit nul : 3x − 5 = 0 donne x = 53 ; 2x + 3 = 0 donne x = −32.
Les solutions sont donc x = 53 et x = −53 pour la première équation, x = 53 et x = −32 pour la seconde.
Exercice 1 — Images et antécédents d'une fonction affine
Soit f la fonction définie par f(x) = −3x + 7. Pour chaque question, une seule réponse est exacte : (1) f(2) vaut 1, 13 ou −1 ? (2) f(−1) vaut 4, 10 ou −10 ? (3) L'antécédent de −5 par f vaut 4, −4 ou 12 ?
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Question 1 : f(2) = −3 × 2 + 7 = −6 + 7 = 1. La bonne réponse est 1.
Question 2 : f(−1) = −3 × (−1) + 7 = 3 + 7 = 10. La bonne réponse est 10.
Question 3 : chercher l'antécédent de −5 revient à résoudre −3x + 7 = −5, soit −3x = −12, donc x = 4.
Les réponses exactes sont donc : 1 ; 10 ; 4.
Exercice 4 — Retrouver une fonction affine
Une fonction affine g vérifie g(2) = 5 et g(6) = 17. Déterminer l'expression de g(x), puis résoudre l'équation g(x) = 0.
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Une fonction affine s'écrit g(x) = ax + b. Le coefficient directeur se calcule par a = g(6) − g(2)6 − 2 = 17 − 54 = 124 = 3.
On utilise ensuite g(2) = 5 : 3 × 2 + b = 5, donc 6 + b = 5, d'où b = −1.
L'expression cherchée est donc g(x) = 3x − 1. Vérification : g(6) = 3 × 6 − 1 = 17, ce qui est conforme à l'énoncé.
Résolution de g(x) = 0 : 3x − 1 = 0, donc 3x = 1 et x = 13. La courbe de g coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 13 ≈ 0,33.
Exercice 3 — Notes d'un contrôle de mathématiques
Dans une classe de 25 élèves, les notes obtenues à un contrôle sont réparties ainsi : la note 6 pour 2 élèves, 8 pour 5 élèves, 10 pour 7 élèves, 12 pour 6 élèves, 14 pour 4 élèves et 16 pour 1 élève. Calculer la moyenne, la médiane et l'étendue de cette série.
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On vérifie l'effectif total : 2 + 5 + 7 + 6 + 4 + 1 = 25 élèves.
Somme des notes : 6 × 2 + 8 × 5 + 10 × 7 + 12 × 6 + 14 × 4 + 16 × 1 = 12 + 40 + 70 + 72 + 56 + 16 = 266. La moyenne vaut donc 266 ÷ 25 = 10,64.
L'effectif étant impair et égal à 25, la médiane est la 13ᵉ valeur de la série ordonnée. Les effectifs cumulés croissants valent 2, puis 7, puis 14 : la 13ᵉ valeur se trouve donc dans le groupe des notes égales à 10.
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite note : 16 − 6 = 10.
En conclusion, la moyenne est de 10,64, la médiane de 10 et l'étendue de 10.
Exercice 6 — Fusionner deux groupes
Un groupe A de 15 élèves a obtenu une moyenne de 12,4 à un devoir ; un groupe B de 10 élèves a obtenu une moyenne de 9,4 au même devoir. Calculer la moyenne de l'ensemble des 25 élèves, puis déterminer quelle moyenne le groupe B aurait dû obtenir pour que la moyenne globale atteigne exactement 12.
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La moyenne d'un ensemble ne s'obtient pas en faisant la moyenne des moyennes : il faut repasser par les sommes de notes.
Somme des notes du groupe A : 15 × 12,4 = 186. Somme des notes du groupe B : 10 × 9,4 = 94. Somme totale : 186 + 94 = 280.
La moyenne globale vaut donc 280 ÷ 25 = 11,2. Elle est bien comprise entre 9,4 et 12,4, ce qui est cohérent.
Pour une moyenne globale de 12, la somme totale devrait valoir 25 × 12 = 300. Le groupe B devrait donc totaliser 300 − 186 = 114 points, soit une moyenne de 114 ÷ 10 = 11,4.
La moyenne des 25 élèves est 11,2 ; il aurait fallu que le groupe B obtienne 11,4 de moyenne pour atteindre 12 sur l'ensemble.
Exercice 2 — Jetons colorés dans un sac
Un sac opaque contient 5 jetons rouges, 8 jetons verts et 7 jetons bleus, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir un jeton vert, puis celle de ne pas obtenir un jeton rouge.
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Le sac contient au total 5 + 8 + 7 = 20 jetons, et tous les tirages sont équiprobables.
La probabilité d'obtenir un jeton vert est le quotient du nombre de jetons verts par le nombre total : P(vert) = 820 = 25 = 0,4.
L'événement « ne pas obtenir un jeton rouge » est l'événement contraire de « obtenir un jeton rouge », dont la probabilité vaut 520 = 0,25.
Donc P(pas rouge) = 1 − 0,25 = 0,75. On pouvait aussi compter directement les 15 jetons non rouges : 1520 = 0,75.
Exercice 5 — Somme obtenue avec deux dés
On lance deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et on s'intéresse à la somme des deux nombres obtenus. Calculer la probabilité que la somme soit égale à 7, qu'elle soit supérieure ou égale à 10, puis qu'elle soit un multiple de 4.
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En distinguant les deux dés, il y a 6 × 6 = 36 issues équiprobables.
La somme vaut 7 pour les couples (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2) et (6 ; 1), soit 6 issues : P(somme = 7) = 636 = 16 ≈ 0,167.
La somme vaut 10 pour 3 issues, 11 pour 2 issues et 12 pour 1 issue, soit 6 issues favorables : P(somme ≥ 10) = 636 = 16 ≈ 0,167.
Les multiples de 4 possibles sont 4, 8 et 12. La somme vaut 4 pour 3 issues, 8 pour 5 issues et 12 pour 1 issue, soit 9 issues favorables.
Donc P(somme multiple de 4) = 936 = 14 = 0,25.
Exercice 3 — Calculer une hypoténuse
Le triangle ABC est rectangle en A. On donne AB = 9 cm et AC = 12 cm. Calculer la longueur BC, puis l'aire du triangle ABC.
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Le triangle ABC étant rectangle en A, le théorème de Pythagore donne BC² = AB² + AC².
On calcule : BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
Donc BC = √225 = 15 cm, puisqu'une longueur est positive.
L'aire d'un triangle rectangle vaut la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit : aire = 9 × 122 = 1082 = 54 cm².
Exercice 6 — Un terrain triangulaire
Un terrain a la forme d'un triangle ABC avec AB = 40 m, AC = 75 m et BC = 85 m. Montrer que ce triangle est rectangle, calculer son aire, puis en déduire la distance du point A à la droite (BC), arrondie au dixième.
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On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres : BC² = 85² = 7225, et AB² + AC² = 40² + 75² = 1600 + 5625 = 7225.
Comme BC² = AB² + AC², la réciproque du théorème de Pythagore permet d'affirmer que le triangle ABC est rectangle en A.
L'aire du triangle vaut donc AB × AC2 = 40 × 752 = 3000/2 = 1500 m².
En prenant [BC] comme base et en notant h la distance de A à (BC), l'aire s'écrit aussi BC × h2 = 85 × h2. On résout 85 × h2 = 1500, soit 85h = 3000 et h = 3000/85.
On obtient h ≈ 35,3 m : le point A est situé à environ 35,3 m de la droite (BC).
Exercice 4 — Configuration en triangle
Dans un triangle ABC, le point M appartient au segment [AB] et le point N au segment [AC], avec (MN) parallèle à (BC). On donne AM = 3 cm, AB = 7,5 cm, AN = 4 cm et MN = 2,8 cm. Calculer AC et BC.
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Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C aussi, et (MN) est parallèle à (BC) : le théorème de Thalès s'applique et donne AMAB = ANAC = MNBC.
On calcule le rapport de réduction : AMAB = 37,5 = 0,4.
De 4AC = 0,4 on tire AC = 4 ÷ 0,4 = 10 cm.
De 2,8BC = 0,4 on tire BC = 2,8 ÷ 0,4 = 7 cm.
Les longueurs cherchées sont donc AC = 10 cm et BC = 7 cm.
Exercice 5 — Configuration papillon
Les droites (AB) et (CD) se coupent en O, avec A et B de part et d'autre de O, ainsi que C et D. On donne OA = 4 cm, OB = 6 cm, OC = 6 cm et OD = 9 cm. Affirmation : les droites (AC) et (BD) sont parallèles. Vrai ou faux ? Justifier, puis calculer BD sachant que AC = 5 cm.
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On compare les deux rapports : OAOB = 46 = 23 et OCOD = 69 = 23. Ces rapports sont égaux.
De plus, les points A, O, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que C, O, D : les points sont donc placés dans le même ordre sur les deux droites sécantes.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (BD) sont parallèles : l'affirmation est VRAIE.
Le théorème de Thalès donne alors OAOB = ACBD, soit 23 = 5BD, donc 2 × BD = 3 × 5 = 15.
On obtient BD = 152 = 7,5 cm.
Exercice 3 — Hauteur d'un cerf-volant
Léa tient le fil tendu d'un cerf-volant à 1,5 m au-dessus du sol. Le fil mesure 42 m et forme un angle de 55° avec l'horizontale. À quelle hauteur au-dessus du sol se trouve le cerf-volant, au dixième de mètre près ?
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On modélise la situation par un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le fil (42 m) et dont l'angle avec l'horizontale mesure 55°.
La hauteur du cerf-volant au-dessus de la main de Léa est le côté opposé à l'angle de 55° : on utilise donc le sinus, sin 55° = h42, d'où h = 42 × sin 55°.
À la calculatrice, sin 55° ≈ 0,819, donc h ≈ 42 × 0,819 ≈ 34,4 m.
La main étant à 1,5 m du sol, la hauteur totale vaut environ 34,4 + 1,5 = 35,9 m.
Le cerf-volant se trouve donc à environ 35,9 m au-dessus du sol.
Exercice 7 — Hauteur d'une falaise
Depuis un point A d'une plage horizontale, on voit le sommet S d'une falaise sous un angle de 32° avec l'horizontale. En avançant de 45 m en direction de la falaise, on atteint un point B d'où le sommet est vu sous un angle de 48°. Déterminer la hauteur de la falaise, arrondie au dixième de mètre.
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Correction détaillée
On note H le pied de la falaise et h = SH la hauteur cherchée. Les triangles SHA et SHB sont rectangles en H.
Dans le triangle SHA : tan 32° = hHA, donc HA = htan 32°. Dans le triangle SHB : tan 48° = hHB, donc HB = htan 48°.
Comme B se trouve entre A et H, on a HA − HB = AB = 45, soit htan 32° − htan 48° = 45, c'est-à-dire h × (1tan 32° − 1tan 48°) = 45.
À la calculatrice, tan 32° ≈ 0,6249 et tan 48° ≈ 1,1106, donc 1tan 32° ≈ 1,6003 et 1tan 48° ≈ 0,9004 : la différence vaut environ 0,6999.
On en déduit h ≈ 45 ÷ 0,6999 ≈ 64,3. La falaise mesure donc environ 64,3 m de haut.
Exercice 4 — Volume d'une pyramide
Une pyramide régulière a pour base un carré de côté 6 cm et pour hauteur 10 cm. Calculer son volume, puis le volume de la pyramide obtenue en multipliant toutes ses dimensions par 2.
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Correction détaillée
L'aire de la base carrée vaut 6 × 6 = 36 cm².
Le volume d'une pyramide est donné par V = (13) × aire de la base × hauteur, donc V = (13) × 36 × 10 = 3603 = 120 cm³.
Lorsqu'on multiplie toutes les dimensions d'un solide par un coefficient k, son volume est multiplié par k³. Ici k = 2, donc le volume est multiplié par 2³ = 8.
Le volume de la pyramide agrandie vaut donc 120 × 8 = 960 cm³.
Exercice 6 — Un réservoir composé
Un réservoir est constitué d'un cylindre de révolution de rayon 3 m et de hauteur 8 m, surmonté d'une demi-boule de rayon 3 m. Calculer le volume exact du réservoir en fonction de π, puis sa capacité en litres arrondie au litre. On rappelle que le volume d'une boule de rayon R vaut (43)πR³.
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Volume du cylindre : V₁ = π × R² × h = π × 3² × 8 = 72π m³.
Volume de la demi-boule : V₂ = (12) × (43) × π × 3³ = (23) × π × 27 = 18π m³.
Le volume total du réservoir vaut donc V = V₁ + V₂ = 72π + 18π = 90π m³.
Valeur approchée : V ≈ 90 × 3,14159 ≈ 282,743 m³.
Comme 1 m³ = 1000 L, la capacité du réservoir est d'environ 282 743 litres.
Exercice 1 — Lecture d'une échelle
Sur une carte à l'échelle 125 000, deux villages sont distants de 8,4 cm. Quelle est la distance réelle entre ces deux villages, exprimée en kilomètres ? Quelle longueur sur la carte représenterait une distance réelle de 3 km ?
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Correction détaillée
Une échelle de 125 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité : la distance réelle s'obtient en multipliant la distance sur la carte par 25 000.
Distance réelle : 8,4 × 25 000 = 210 000 cm.
On convertit : 210 000 cm = 2100 m = 2,1 km. Les deux villages sont donc distants de 2,1 km.
Réciproquement, 3 km = 300 000 cm ; sur la carte cela correspond à 300 000 ÷ 25 000 = 12 cm.
La distance réelle est de 2,1 km et une distance de 3 km serait représentée par 12 cm sur la carte.
Exercice 2 — Hausse puis remise
Le prix d'un article est de 80 €. Il subit d'abord une augmentation de 15 %, puis, lors des soldes, une remise de 20 % sur le nouveau prix. Calculer le prix final, puis déterminer le pourcentage de variation global par rapport au prix initial.
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Une augmentation de 15 % revient à multiplier par le coefficient 1 + 0,15 = 1,15. Le prix après hausse vaut donc 80 × 1,15 = 92 €.
Une remise de 20 % revient à multiplier par le coefficient 1 − 0,20 = 0,80. Le prix final vaut donc 92 × 0,80 = 73,60 €.
Le coefficient global est le produit des deux coefficients : 1,15 × 0,80 = 0,92. On vérifie que 80 × 0,92 = 73,60 €.
Comme 0,92 = 1 − 0,08, la variation globale est une baisse de 8 %.
Le prix final est donc de 73,60 € et l'article a globalement baissé de 8 %, et non augmenté comme on pourrait le croire en ajoutant naïvement +15 % et −20 %.
Exercice 3 — Une variable dans une boucle
Un script Scratch contient les instructions suivantes : mettre x à 5, puis répéter 3 fois le bloc « mettre x à (x × 2 + 1) », puis dire x. Quelle valeur est affichée à la fin ? Quelle valeur faudrait-il donner à x au départ pour que le script affiche 7 ?
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Correction détaillée
On suit l'évolution de la variable x à chaque passage dans la boucle, en partant de x = 5.
Premier passage : x = 5 × 2 + 1 = 11. Deuxième passage : x = 11 × 2 + 1 = 23. Troisième passage : x = 23 × 2 + 1 = 47.
Le script affiche donc 47.
Pour la seconde question, on remonte la boucle à l'envers en inversant chaque étape (retrancher 1, puis diviser par 2) : avant le troisième passage x valait 7 − 12 = 3, avant le deuxième 3 − 12 = 1, et avant le premier 1 − 12 = 0.
Il faudrait donc partir de x = 0 : en effet 0 → 1 → 3 → 7.
Exercice 7 — Somme de carrés
On considère le script suivant : mettre S à 0, mettre n à 1, puis répéter 5 fois le bloc « mettre S à (S + n × n) puis mettre n à (n + 1) », enfin dire S et n. Déterminer les valeurs affichées et expliquer ce que calcule ce script.
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Correction détaillée
À chaque tour de boucle, le script ajoute à S le carré de la valeur courante de n, puis augmente n de 1.
Tour 1 : S = 0 + 1² = 1, n devient 2. Tour 2 : S = 1 + 2² = 5, n devient 3. Tour 3 : S = 5 + 3² = 14, n devient 4.
Tour 4 : S = 14 + 4² = 30, n devient 5. Tour 5 : S = 30 + 5² = 55, n devient 6.
Le script affiche donc S = 55 et n = 6.
Ce script calcule la somme des carrés des cinq premiers entiers naturels non nuls : 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.
Exercice 1 — Fraction irréductible
On considère la fraction 84126. Déterminer le PGCD de 84 et 126 par l'algorithme d'Euclide, puis rendre cette fraction irréductible.
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Correction détaillée
On applique l'algorithme d'Euclide : 126 = 1 × 84 + 42, puis 84 = 2 × 42 + 0. Le dernier reste non nul est 42.
Donc PGCD(84 ; 126) = 42.
On simplifie : 84 = 42 × 2 et 126 = 42 × 3, donc 84126 = 23.
La fraction irréductible est 23, car PGCD(2 ; 3) = 1.
Exercice 2 — Lots de bonbons
Un pâtissier dispose de 144 caramels et de 180 nougats. Il veut réaliser des sachets identiques en utilisant tous les bonbons, chaque sachet contenant le même nombre de caramels et le même nombre de nougats. Quel est le nombre maximal de sachets ? Que contient alors chaque sachet ?
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Correction détaillée
Le nombre de sachets doit diviser à la fois 144 et 180 : il s'agit donc d'un diviseur commun, et le nombre maximal cherché est le PGCD de 144 et 180.
Algorithme d'Euclide : 180 = 1 × 144 + 36, puis 144 = 4 × 36 + 0. Donc PGCD(144 ; 180) = 36.
On peut réaliser au maximum 36 sachets.
Chaque sachet contient alors 144 ÷ 36 = 4 caramels et 180 ÷ 36 = 5 nougats.
Exercice 1 — Nombres premiers entre eux
Léa affirme : « Les nombres 91 et 39 sont premiers entre eux. » A-t-elle raison ? Justifier la réponse.
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Correction détaillée
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1.
Algorithme d'Euclide : 91 = 2 × 39 + 13, puis 39 = 3 × 13 + 0. Le PGCD est donc 13.
Comme 13 ≠ 1, les nombres 91 et 39 ne sont pas premiers entre eux : on a 91 = 13 × 7 et 39 = 13 × 3.
Léa a donc tort.
Exercice 2 — Développer et factoriser
On donne l'expression E = (2x + 3)² − (2x + 3)(x − 1). Développer puis réduire E, et donner également sa forme factorisée.
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On factorise d'abord par le facteur commun (2x + 3) : E = (2x + 3)[(2x + 3) − (x − 1)].
On réduit le crochet : (2x + 3) − (x − 1) = 2x + 3 − x + 1 = x + 4.
Donc la forme factorisée est E = (2x + 3)(x + 4).
En développant : E = 2x² + 8x + 3x + 12 = 2x² + 11x + 12.
Exercice 5 — Programme de calcul
Voici un programme de calcul : choisir un nombre, lui ajouter 5, multiplier le résultat par le nombre choisi, puis ajouter 6,25. Alice affirme que le résultat est toujours positif ou nul. Justifier cette affirmation.
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On note x le nombre choisi. Le résultat du programme est R = x(x + 5) + 6,25 = x² + 5x + 6,25.
On reconnaît une identité remarquable : (x + 2,5)² = x² + 5x + 6,25.
Donc R = (x + 2,5)², et un carré est toujours positif ou nul.
L'affirmation d'Alice est vraie. Le résultat est nul uniquement pour x = −2,5, et strictement positif sinon.
Exercice 1 — Expression réduite
L'expression réduite de A = 3(x − 4) + 2(5 − x) est : a) x − 2 ; b) x + 2 ; c) 5x − 2 ; d) x − 22. Choisir la bonne réponse en justifiant.
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On développe chaque produit : 3(x − 4) = 3x − 12 et 2(5 − x) = 10 − 2x.
On additionne : A = 3x − 12 + 10 − 2x.
On regroupe les termes semblables : (3x − 2x) + (−12 + 10) = x − 2.
La bonne réponse est la a) : A = x − 2.
Exercice type Brevet
Équations
Exercice de calcul
Facile
Exercice 3 — Résoudre une équation
Résoudre l'équation 5x − 7 = 2x + 11.
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On regroupe les termes en x dans le membre de gauche : 5x − 2x − 7 = 11, soit 3x − 7 = 11.
On ajoute 7 aux deux membres : 3x = 18.
On divise les deux membres par 3 : x = 6.
La solution de l'équation est x = 6. Vérification : 5 × 6 − 7 = 23 et 2 × 6 + 11 = 23.
Exercice type Brevet
Équations
Problème
Moyen
Exercice 4 — Deux tarifs de piscine
Une piscine municipale propose deux tarifs. Tarif A : 3 € par entrée. Tarif B : un abonnement annuel de 40 € puis 1,50 € par entrée. À partir de combien d'entrées le tarif B devient-il plus avantageux que le tarif A ?
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On note n le nombre d'entrées. Le prix payé est 3n avec le tarif A, et 40 + 1,5n avec le tarif B.
Le tarif B est plus avantageux lorsque 40 + 1,5n < 3n, c'est-à-dire 40 < 1,5n.
On divise par 1,5 : n > 40 ÷ 1,5 ≈ 26,67.
Comme n est un nombre entier, le tarif B devient plus avantageux à partir de 27 entrées. Pour 27 entrées : tarif A = 81 € et tarif B = 80,50 €.
Exercice type Brevet
Équations
Tâche complexe
Difficile
Exercice 6 — Périmètre et dimensions
Un rectangle a un périmètre de 46 cm. Sa longueur mesure 5 cm de plus que le double de sa largeur. Déterminer les dimensions de ce rectangle et son aire.
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On note ℓ la largeur en cm. La longueur vaut alors 2ℓ + 5.
Le périmètre s'écrit 2(ℓ + 2ℓ + 5) = 46, soit 2(3ℓ + 5) = 46, donc 6ℓ + 10 = 46.
On résout : 6ℓ = 36, donc ℓ = 6 cm. La longueur vaut 2 × 6 + 5 = 17 cm.
Vérification du périmètre : 2 × (6 + 17) = 46 cm. L'aire vaut 6 × 17 = 102 cm².
Exercice 2 — Image et antécédent
Soit f la fonction définie par f(x) = −3x + 7. Calculer f(−2), puis déterminer l'antécédent de 1 par f.
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Calcul de l'image : f(−2) = −3 × (−2) + 7 = 6 + 7 = 13.
Pour l'antécédent de 1, on résout f(x) = 1, c'est-à-dire −3x + 7 = 1.
On obtient −3x = −6, donc x = 2.
Ainsi f(−2) = 13 et l'antécédent de 1 par f est 2.
Exercice 4 — Location de vélos
Un loueur de vélos facture un forfait de 12 € auquel s'ajoute 4 € par heure de location. On note f la fonction qui à la durée x, en heures, associe le prix payé en euros. Exprimer f(x), calculer le prix pour 5 heures, puis déterminer la durée de location pour un budget de 44 €.
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Le prix se compose d'une part fixe et d'une part proportionnelle : f(x) = 4x + 12. C'est une fonction affine.
Pour 5 heures : f(5) = 4 × 5 + 12 = 20 + 12 = 32 €.
Pour un budget de 44 €, on résout 4x + 12 = 44, soit 4x = 32, donc x = 8.
Avec 44 €, on peut louer un vélo pendant 8 heures.
Exercice 5 — Lecture graphique et coefficient
Une fonction affine g vérifie g(2) = 5 et g(6) = −3. Nathan affirme que le coefficient directeur de g est −2. A-t-il raison ? Donner l'expression de g(x).
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Pour une fonction affine g(x) = ax + b, le coefficient directeur est a = (g(6) − g(2)) ÷ (6 − 2).
On calcule : a = (−3 − 5) ÷ 4 = −8 ÷ 4 = −2. Nathan a donc raison.
On détermine b avec g(2) = 5 : −2 × 2 + b = 5, donc −4 + b = 5 et b = 9.
L'expression est g(x) = −2x + 9. Vérification : g(6) = −12 + 9 = −3.
Exercice 3 — Moyenne et médiane
Voici les notes obtenues par neuf élèves à un devoir : 8 ; 12 ; 15 ; 9 ; 12 ; 17 ; 6 ; 14 ; 12. Calculer la moyenne de cette série, puis déterminer sa médiane et son étendue.
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Somme des notes : 8 + 12 + 15 + 9 + 12 + 17 + 6 + 14 + 12 = 105.
La moyenne vaut 105 ÷ 9 ≈ 11,7 (arrondie au dixième).
Notes rangées dans l'ordre croissant : 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 12 ; 12 ; 14 ; 15 ; 17. Il y a 9 valeurs, la médiane est la 5ᵉ : elle vaut 12.
L'étendue est 17 − 6 = 11. Moyenne ≈ 11,7 ; médiane = 12 ; étendue = 11.
Exercice 2 — Temps de trajet des élèves
Le temps de trajet, en minutes, de 25 élèves a été relevé : 5 min pour 6 élèves, 10 min pour 8 élèves, 15 min pour 7 élèves et 30 min pour 4 élèves. Calculer le temps moyen de trajet et déterminer la médiane.
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On calcule la somme totale des temps : 5 × 6 + 10 × 8 + 15 × 7 + 30 × 4 = 30 + 80 + 105 + 120 = 335 minutes.
Le temps moyen vaut 335 ÷ 25 = 13,4 minutes.
Il y a 25 valeurs : la médiane est la 13ᵉ valeur de la série ordonnée.
Les 6 premières valeurs valent 5, les valeurs de rang 7 à 14 valent 10. La 13ᵉ valeur est donc 10 : la médiane est 10 minutes.
Exercice 1 — Tirage dans une urne
Une urne contient 5 boules rouges, 8 boules vertes et 7 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité de tirer une boule verte, puis celle de tirer une boule qui ne soit pas rouge.
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L'urne contient 5 + 8 + 7 = 20 boules, et le tirage est équiprobable.
La probabilité de tirer une boule verte est 820 = 25 = 0,4.
L'événement « ne pas tirer de rouge » est l'événement contraire de « tirer une rouge », de probabilité 520 = 0,25.
Donc P(pas rouge) = 1 − 0,25 = 0,75, soit 1520 = 34.
Exercice 4 — Roue de loterie
Une roue de loterie est partagée en 12 secteurs identiques : 3 secteurs gagnent un lot, 4 secteurs donnent droit à un nouveau tour, et les autres sont perdants. On fait tourner la roue une fois. Calculer la probabilité de gagner un lot et celle d'être perdant.
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Les 12 secteurs étant identiques, chacun a la même probabilité 112 d'être obtenu.
Probabilité de gagner un lot : 312 = 14 = 0,25.
Nombre de secteurs perdants : 12 − 3 − 4 = 5.
Probabilité d'être perdant : 512 ≈ 0,42. On gagne un lot avec une probabilité de 0,25 et on perd avec une probabilité de 512.
Exercice 3 — Longueur d'une échelle
Une échelle est appuyée contre un mur vertical. Son pied est situé à 1,5 m du mur et son sommet touche le mur à 3,6 m du sol. Calculer la longueur de cette échelle, arrondie au centimètre.
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Le mur étant vertical et le sol horizontal, le triangle formé par le sol, le mur et l'échelle est rectangle. L'échelle en est l'hypoténuse.
D'après le théorème de Pythagore : longueur² = 1,5² + 3,6² = 2,25 + 12,96 = 15,21.
Donc longueur = √15,21 = 3,9 exactement.
L'échelle mesure 3,90 m, soit 390 cm.
Exercice 2 — Le triangle est-il rectangle ?
Un triangle ABC est tel que AB = 6,5 cm, AC = 6 cm et BC = 2,5 cm. Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.
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Le côté le plus long est AB = 6,5 cm. On compare AB² avec AC² + BC².
D'une part AB² = 6,5² = 42,25.
D'autre part AC² + BC² = 6² + 2,5² = 36 + 6,25 = 42,25.
Comme AB² = AC² + BC², la réciproque du théorème de Pythagore permet d'affirmer que le triangle ABC est rectangle en C.
Exercice 4 — Calcul avec la configuration de Thalès
Les points A, M, B sont alignés ainsi que A, N, C, avec M sur [AB] et N sur [AC]. On sait que AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 6 cm et MN = 5 cm. Sachant que (MN) et (BC) sont parallèles, calculer AC et BC.
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Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (MN) est parallèle à (BC) : le théorème de Thalès s'applique, avec AMAB = ANAC = MNBC.
Le coefficient d'agrandissement est ABAM = 104 = 2,5.
On en déduit AC = 2,5 × AN = 2,5 × 6 = 15 cm.
De même BC = 2,5 × MN = 2,5 × 5 = 12,5 cm. Donc AC = 15 cm et BC = 12,5 cm.
Exercice 5 — Hauteur d'un arbre
Pour mesurer la hauteur d'un arbre, Chloé, qui mesure 1,60 m, se place de façon que le sommet de son ombre coïncide avec celui de l'ombre de l'arbre. Elle se trouve alors à 2 m du sommet commun des ombres, et l'arbre est à 11 m de ce même point. Calculer la hauteur de l'arbre.
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On note S le sommet commun des ombres, C le sommet de la tête de Chloé et A le sommet de l'arbre. Chloé et l'arbre sont verticaux, donc leurs supports sont parallèles.
Les rayons du soleil donnent une configuration de Thalès : le rapport des distances au sol est égal au rapport des hauteurs.
On a donc 211 = 1,60h, où h est la hauteur de l'arbre en mètres.
Par produit en croix : h = 11 × 1,60 ÷ 2 = 17,6 ÷ 2 = 8,8. L'arbre mesure 8,8 m de haut.
Exercice 3 — Angle d'une rampe d'accès
Une rampe d'accès rectiligne s'élève de 0,5 m sur une longueur horizontale de 6 m. Calculer la mesure de l'angle que forme la rampe avec l'horizontale, arrondie au dixième de degré. La réglementation impose un angle inférieur à 5° : est-elle respectée ?
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Le triangle formé est rectangle. Par rapport à l'angle α cherché, 0,5 m est le côté opposé et 6 m le côté adjacent.
On utilise la tangente : tan α = opposé ÷ adjacent = 0,5 ÷ 6 ≈ 0,0833.
À la calculatrice, α = tan⁻¹(0,0833) ≈ 4,8°.
Comme 4,8° < 5°, la rampe respecte bien la réglementation.
Exercice 6 — Câble d'un téléphérique
Un téléphérique relie une gare de départ à une gare d'arrivée située 420 m plus haut. Le câble rectiligne fait un angle de 32° avec l'horizontale. Calculer la longueur du câble puis la distance horizontale entre les deux gares, arrondies au mètre.
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Le dénivelé de 420 m est le côté opposé à l'angle de 32° dans le triangle rectangle, et le câble en est l'hypoténuse.
On utilise le sinus : sin 32° = 420 ÷ L, donc L = 420 ÷ sin 32° ≈ 420 ÷ 0,5299 ≈ 792,6.
Le câble mesure environ 793 m.
Pour la distance horizontale d : tan 32° = 420 ÷ d, donc d = 420 ÷ tan 32° ≈ 420 ÷ 0,6249 ≈ 672. Les gares sont distantes d'environ 672 m horizontalement.
Exercice 4 — Volume d'un cône
Un cône de révolution a un rayon de base de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Calculer son volume, en donner la valeur exacte puis une valeur arrondie au cm³.
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Le volume d'un cône est V = (13) × π × r² × h.
Ici r = 5 cm et h = 12 cm, donc V = (13) × π × 25 × 12.
On simplifie : 25 × 12 = 300 et 300 ÷ 3 = 100, donc V = 100π cm³.
Valeur approchée : V ≈ 100 × 3,14159 ≈ 314 cm³.
Exercice 6 — Réduction d'une pyramide
Une pyramide à base carrée a un volume de 640 cm³. On la réduit dans un rapport de 34 pour fabriquer une maquette. Calculer le volume de la maquette, puis indiquer par quel nombre est multipliée l'aire de sa base.
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Dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k³ et les aires par k².
Ici k = 34, donc k³ = 2764.
Le volume de la maquette est V = 640 × 2764 = 10 × 27 = 270 cm³.
L'aire de la base est multipliée par k² = 916 = 0,5625. Le volume de la maquette est donc 270 cm³.
Exercice 1 — Pourcentage de remise
Un article coûtait 80 €. Il est vendu 68 € pendant les soldes. Quel est le pourcentage de remise appliqué ?
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La remise en euros vaut 80 − 68 = 12 €.
Le taux de remise est le quotient de la remise par le prix initial : 12 ÷ 80 = 0,15.
On convertit en pourcentage : 0,15 = 15 %.
La remise appliquée est de 15 %. Vérification : 80 × 0,85 = 68 €.
Exercice 2 — Vitesse moyenne d'un cycliste
Un cycliste parcourt 63 km en 2 h 15 min. Calculer sa vitesse moyenne en km/h, puis le temps qu'il mettrait à parcourir 84 km à cette même vitesse.
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On convertit la durée en heures : 2 h 15 min = 2 + 1560 = 2,25 h.
La vitesse moyenne vaut v = 63 ÷ 2,25 = 28 km/h.
Pour 84 km à 28 km/h, la durée est t = 84 ÷ 28 = 3 h.
Le cycliste roule à 28 km/h et mettrait 3 heures pour parcourir 84 km.
Exercice 2 — Déplacement d'un lutin
Un lutin Scratch part du point de coordonnées (0 ; 0). Le script exécute 4 fois de suite le bloc : « ajouter 30 à x » puis « ajouter −10 à y ». Quelles sont les coordonnées finales du lutin ?
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À chaque répétition, l'abscisse augmente de 30 et l'ordonnée diminue de 10.
Après 4 répétitions, l'abscisse vaut 0 + 4 × 30 = 120.
L'ordonnée vaut 0 + 4 × (−10) = −40.
Le lutin s'arrête au point de coordonnées (120 ; −40).
Exercice 5 — Tracé d'un polygone
Dans un script Scratch, un lutin répète 8 fois le bloc : « avancer de 50 pas » puis « tourner de a degrés ». À la fin, le lutin est revenu à son point de départ dans sa direction initiale, ayant effectué un seul tour complet. Déterminer la valeur de a et la nature de la figure tracée.
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Le lutin effectue 8 rotations identiques et revient dans sa direction initiale après un tour complet, soit 360° au total.
Donc 8 × a = 360, ce qui donne a = 45.
Les 8 côtés ont tous la même longueur (50 pas) et les rotations sont toutes égales : la figure est un polygone régulier à 8 côtés.
Le lutin tourne de 45° et trace un octogone régulier de côté 50 pas.
Exercice 6 — Variable dans une boucle
Un script initialise la variable N à 5, puis répète 3 fois le bloc : « mettre N à N × 2 − 3 ». Donner la valeur de N après chaque répétition, puis la valeur finale affichée.
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Valeur initiale : N = 5.
Après la 1ʳᵉ répétition : N = 5 × 2 − 3 = 10 − 3 = 7.
Après la 2ᵉ répétition : N = 7 × 2 − 3 = 14 − 3 = 11.
Après la 3ᵉ répétition : N = 11 × 2 − 3 = 22 − 3 = 19. La valeur finale affichée est 19.