Suites numériques — sujets et exercices Bac

Initialisation : u₀ = 2 < 6, la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : soit n ∈ ℕ. Supposons uₙ < 6 pour cet entier n. Alors (13)uₙ < 2, donc (13)uₙ + 4 < 6, c'est-à-dire uₙ₊₁ < 6 : la propriété est vraie au rang n + 1. Conclusion : vraie au rang 0 et se transmet d'un rang au suivant, elle est, d'après le principe de récurrence, vraie pour tout n ∈ ℕ.

On étudie vₙ = uₙ − 6 : vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 6 = (13)uₙ + 4 − 6 = (13)uₙ − 2 = (13)(uₙ − 6) = (13)vₙ. La suite (vₙ) est donc géométrique de raison 13, de premier terme v₀ = 2 − 6 = −4.

Ainsi vₙ = −4 × (13)ⁿ, d'où uₙ = vₙ + 6 = 6 − 4 × (13)ⁿ. Vérification : u₁ = 6 − 43 = 143, et directement (13) × 2 + 4 = 143.

Comme −1 < 13 < 1, on a (13)ⁿ → 0 quand n → +∞, donc uₙ → 6. La suite converge vers 6, en restant strictement inférieure à 6.

On cherche le point fixe ℓ de la relation : ℓ = 1,05ℓ + 300 donne −0,05ℓ = 300, soit ℓ = −6000. On pose alors vₙ = Cₙ + 6000.

Alors vₙ₊₁ = Cₙ₊₁ + 6000 = 1,05Cₙ + 300 + 6000 = 1,05Cₙ + 6300 = 1,05(Cₙ + 6000) = 1,05vₙ : la suite (vₙ) est géométrique de raison 1,05 et de premier terme v₀ = 5000 + 6000 = 11 000. Donc Cₙ = 11 000 × 1,05ⁿ − 6000. Vérification : C₁ = 11 550 − 6000 = 5550, et 1,05 × 5000 + 300 = 5550.

L'inéquation Cₙ ≥ 15 000 équivaut à 11 000 × 1,05ⁿ ≥ 21 000, soit 1,05ⁿ ≥ 2111 ≈ 1,9091. En passant au logarithme népérien (fonction strictement croissante) : n ≥ ln(2111)/ln(1,05) ≈ 0,64660,04879 ≈ 13,25.

Le plus petit entier convenable est donc n = 14. On le confirme numériquement : C₁₃ ≈ 14 742 € < 15 000 tandis que C₁₄ ≈ 15 779 € ≥ 15 000.

Fonction Python : def seuil(): C = 5000 ; n = 0 ; while C < 15000 : C = 1.05*C + 300 ; n = n + 1 ; return n. Cette fonction renvoie 14 : il faut 14 années pour que le capital atteigne 15 000 €.

Initialisation : u₀ = 1 ≤ 6, la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : soit n ∈ ℕ. Supposons que uₙ ≤ 6 pour cet entier n. Alors 0,5uₙ ≤ 3, donc 0,5uₙ + 3 ≤ 6, c'est-à-dire uₙ₊₁ ≤ 6.

La propriété est donc se transmet d'un rang au suivant.

Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et se transmet d'un rang au suivant ; d'après le principe de récurrence, uₙ ≤ 6 pour tout n ∈ ℕ. La suite est majorée par 6.

On calcule vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 6 = 0,5uₙ + 3 − 6 = 0,5uₙ − 3 = 0,5(uₙ − 6) = 0,5vₙ.

Donc (vₙ) est géométrique de raison q = 0,5 et de premier terme v₀ = u₀ − 6 = −5.

Ainsi vₙ = −5 × 0,5ⁿ, d'où uₙ = vₙ + 6 = 6 − 5 × 0,5ⁿ.

Comme −1 < 0,5 < 1, on a 0,5ⁿ → 0, donc la limite de (uₙ) est 6.

On résout 500 × 0,8ⁿ < 50, soit 0,8ⁿ < 0,1.

En passant au logarithme népérien (ln est croissante) : n ln(0,8) < ln(0,1). Comme ln(0,8) < 0, l'inégalité change de sens : n > ln(0,1) ÷ ln(0,8).

Numériquement : ln(0,1) ≈ −2,3026 et ln(0,8) ≈ −0,2231, donc n > 10,32.

Le plus petit entier convenant est n = 11 : c'est la valeur renvoyée par la fonction seuil(). On vérifie w₁₀ ≈ 53,7 et w₁₁ ≈ 42,9.