Continuité — sujets et exercices Bac

La fonction f est un polynôme, donc continue et dérivable sur ℝ, avec f′(x) = 3x² + 3. Comme 3x² ≥ 0, on a f′(x) ≥ 3 > 0 : f est strictement croissante sur ℝ.

De plus lim f(x) = −∞ en −∞ et lim f(x) = +∞ en +∞. D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction continue et strictement croissante (corollaire dit de la bijection), l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans ℝ.

On localise α : f(1) = 1 + 3 − 5 = −1 < 0 et f(2) = 8 + 6 − 5 = 9 > 0, donc α ∈ ]1 ; 2[. Puis f(1,1) ≈ −0,369 < 0 et f(1,2) ≈ 0,328 > 0, donc α ∈ ]1,1 ; 1,2[.

On affine : f(1,15) ≈ −0,029 < 0 et f(1,16) ≈ 0,041 > 0, donc 1,15 < α < 1,16. On a bien un encadrement d'amplitude 10⁻², et α ≈ 1,15 à 10⁻² près par défaut.

Algorithme de dichotomie en Python : def dicho(p): a = 1 ; b = 2 ; while b − a > p : m = a + b2 ; if m**3 + 3*m − 5 < 0 : a = m ; else : b = m ; return (a, b). Avec p = 0.01, il renvoie un encadrement de α d'amplitude inférieure à 10⁻², cohérent avec 1,15 < α < 1,16.

On pose g(x) = eˣ + x² − 3, définie et dérivable sur ℝ ; l'équation proposée équivaut à g(x) = 0.

On calcule g′(x) = eˣ + 2x, puis g″(x) = eˣ + 2 > 0 : la fonction g′ est strictement croissante sur ℝ. Comme g′(−1) = e⁻¹ − 2 ≈ −1,63 < 0 et g′(0) = 1 > 0, g′ s'annule en un unique réel β ∈ ]−1 ; 0[, avec g′ < 0 avant β et g′ > 0 après.

La fonction g est donc strictement décroissante sur ]−∞ ; β] puis strictement croissante sur [β ; +∞[. Une valeur approchée donne β ≈ −0,35 et g(β) ≈ 0,705 + 0,123 − 3 ≈ −2,17 < 0 : le minimum de g est strictement négatif.

Or lim g(x) = +∞ en −∞ (car x² → +∞ et eˣ → 0) et lim g(x) = +∞ en +∞. Sur chacun des deux intervalles de monotonie, g est continue et strictement monotone et change de signe : le théorème des valeurs intermédiaires assure exactement une solution sur chacun, soit exactement deux solutions au total.

Localisation : g(−2) ≈ 1,14 > 0 et g(−1) ≈ −1,63 < 0 donc la première solution est dans ]−2 ; −1[ ; g(0) = −2 < 0 et g(1) ≈ 0,72 > 0 donc la seconde est dans ]0 ; 1[. Les valeurs approchées sont environ −1,7 et 0,86.

f est une fonction polynôme, donc continue et dérivable sur ℝ, avec f′(x) = 3x² + 3 > 0 pour tout réel x.

f est donc strictement croissante sur ℝ. De plus, la limite en −∞ est −∞ et la limite en +∞ est +∞.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction continue et strictement croissante, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans ℝ.

On calcule f(1,1) = 1,331 + 3,3 − 5 = −0,369 < 0 et f(1,2) = 1,728 + 3,6 − 5 = 0,328 > 0. Donc 1,1 < α < 1,2.

h est continue sur l'intervalle [0 ; 4] et 3 est compris entre h(0) = −2 et h(4) = 7.

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors l'existence d'au moins un réel c ∈ [0 ; 4] tel que h(c) = 3.

L'affirmation est donc vraie. En revanche, sans hypothèse de stricte monotonie, on ne peut pas affirmer l'unicité de cette solution.

Conclusion : l'affirmation est vraie, l'équation h(x) = 3 admet au moins une solution sur [0 ; 4].