Limites de fonctions — sujets et exercices Bac

Des sujets officiels de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale) et des exercices originaux dans le format de l'épreuve, classés par chapitre, type et difficulté. Chaque exercice a sa correction détaillée rédigée par le site.

Les exercices marqués « Sujet officiel » reprennent fidèlement des énoncés réellement posés aux épreuves (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale, sujets publiés sur eduscol.education.fr et education.gouv.fr) ; leurs corrections sont rédigées par Mathrentree. Les exercices marqués « Exercice type » sont des exercices originaux rédigés dans le format et le niveau de l'épreuve.

Difficulté

Chapitre : Tous Calcul intégral Combinatoire et dénombrement Continuité Dérivation Fonction exponentielle Fonction logarithme Géométrie dans l'espace Limites de fonctions Loi binomiale Primitives et équations différentielles Probabilités conditionnelles Suites numériques

4 exercices corrigés.

Exercice type Bac Limites de fonctions QCM Facile

Exercice 2 — Limite d'un quotient de polynômes

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x² − 5x + 2x² + 4. Une seule réponse est exacte : la limite de f en +∞ vaut 0, 3, +∞ ou 34 ?

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Correction détaillée

Le quotient conduit à une forme indéterminée du type ∞/∞ : il faut lever l'indétermination en factorisant par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

On écrit f(x) = [x²(3 − 5x + 2x²)] / [x²(1 + 4x²)] = (3 − 5x + 2x²)/(1 + 4x²) pour x ≠ 0.

Quand x → +∞, on a 5x → 0, 2x² → 0 et 4x² → 0, donc le numérateur tend vers 3 et le dénominateur vers 1.

Par quotient, la limite de f en +∞ vaut 3 : la bonne réponse est 3. La droite d'équation y = 3 est asymptote horizontale à la courbe en +∞.

Exercice type Bac Limites de fonctions Étude de fonction Moyen

Exercice 1 — Une limite avec une racine carrée

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = √x² + 3x − x. Déterminer la limite de f en +∞ et interpréter graphiquement le résultat.

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Correction détaillée

Quand x → +∞, √x² + 3x → +∞ et x → +∞ : on est en présence d'une forme indéterminée du type ∞ − ∞.

On multiplie par l'expression conjuguée : f(x) = [(√x² + 3x − x)(√x² + 3x + x)]/(√x² + 3x + x) = x² + 3x − x²√x² + 3x + x = 3x/(√x² + 3x + x).

Pour x > 0, on factorise x sous la racine : √x² + 3x = x√1 + 3x. Donc f(x) = 3x/[x(√1 + 3x + 1)] = 3√1 + 3/x + 1.

Quand x → +∞, 3x → 0 donc √1 + 3x → 1, et le dénominateur tend vers 2.

Ainsi lim f(x) = 32 quand x → +∞. Graphiquement, la droite d'équation y = 32 est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞ ; autrement dit, la courbe de x ↦ √x² + 3x admet la droite d'équation y = x + 32 comme asymptote oblique.

Exercice type Bac Limites de fonctions QCM Moyen

Exercice 1 — Limite d'une fonction rationnelle

Soit f définie sur ]3 ; +∞[ par f(x) = 2x² − 5x + 1x² − 9. Déterminer la limite de f en +∞ et sa limite en 3 par valeurs supérieures.

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Correction détaillée

En +∞, on factorise par le terme de plus haut degré : f(x) = x²(2 − 5x + 1x²) ÷ [x²(1 − 9x²)] = (2 − 5x + 1x²)/(1 − 9x²).

Comme 5x, 1x² et 9x² tendent vers 0, la limite en +∞ vaut 21 = 2. La droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale.

En 3, le numérateur tend vers 2 × 9 − 15 + 1 = 4 > 0, et le dénominateur x² − 9 tend vers 0 en restant strictement positif pour x > 3.

Le quotient d'une quantité tendant vers 4 par une quantité positive tendant vers 0 tend vers +∞ : la limite en 3⁺ est +∞, et la droite x = 3 est asymptote verticale.

Exercice type Bac Limites de fonctions Étude de fonction Moyen

Exercice 2 — Croissances comparées

Soit g définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = ln xx + 3. Déterminer les limites de g en 0⁺ et en +∞, et interpréter graphiquement.

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Correction détaillée

En 0⁺ : ln x → −∞ et 1x → +∞, donc ln xx → −∞ comme produit d'un terme tendant vers −∞ par un terme tendant vers +∞.

Ainsi la limite de g en 0⁺ est −∞ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe.

En +∞ : par croissances comparées, ln xx → 0.

Donc g(x) → 3 lorsque x → +∞ : la droite d'équation y = 3 est asymptote horizontale à la courbe en +∞.