Probabilités conditionnelles — sujets et exercices Bac

Des sujets officiels de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale) et des exercices originaux dans le format de l'épreuve, classés par chapitre, type et difficulté. Chaque exercice a sa correction détaillée rédigée par le site.

Les exercices marqués « Sujet officiel » reprennent fidèlement des énoncés réellement posés aux épreuves (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale, sujets publiés sur eduscol.education.fr et education.gouv.fr) ; leurs corrections sont rédigées par Mathrentree. Les exercices marqués « Exercice type » sont des exercices originaux rédigés dans le format et le niveau de l'épreuve.

Difficulté

Chapitre : Tous Calcul intégral Combinatoire et dénombrement Continuité Dérivation Fonction exponentielle Fonction logarithme Géométrie dans l'espace Limites de fonctions Loi binomiale Primitives et équations différentielles Probabilités conditionnelles Suites numériques

4 exercices corrigés.

Exercice type Bac Probabilités conditionnelles Arbre pondéré Moyen

Exercice 2 — Trajet et retard

Un élève se rend au lycée à vélo avec une probabilité de 0,6, et en bus sinon. Lorsqu'il vient à vélo, il est en retard avec une probabilité de 0,05 ; lorsqu'il vient en bus, il est en retard avec une probabilité de 0,15. Calculer la probabilité qu'il soit en retard un jour donné, puis la probabilité qu'il soit venu à vélo sachant qu'il est en retard.

Voir la correction

Correction détaillée

On note V l'événement « l'élève vient à vélo » et R l'événement « l'élève est en retard ». L'énoncé donne P(V) = 0,6, donc P(V̄) = 0,4, ainsi que P_V(R) = 0,05 et P_V̄(R) = 0,15.

Les événements V et V̄ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : P(R) = P(V) × P_V(R) + P(V̄) × P_V̄(R).

On calcule : P(R) = 0,6 × 0,05 + 0,4 × 0,15 = 0,03 + 0,06 = 0,09. La probabilité d'être en retard un jour donné est donc de 0,09.

La probabilité conditionnelle demandée s'écrit P_R(V) = P(V ∩ R)P(R), avec P(V ∩ R) = 0,6 × 0,05 = 0,03.

Donc P_R(V) = 0,030,09 = 13 ≈ 0,333 : sachant qu'il est en retard, il y a environ une chance sur trois que l'élève soit venu à vélo.

Exercice type Bac Probabilités conditionnelles Arbre pondéré Difficile

Exercice 5 — Trois sites d'approvisionnement

Une entreprise reçoit ses pièces de trois sites : 50 % viennent du site A, 30 % du site B et 20 % du site C. Les taux de pièces défectueuses sont respectivement de 2 %, 4 % et 5 %. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard soit défectueuse, puis la probabilité qu'elle vienne du site A sachant qu'elle est défectueuse.

Voir la correction

Correction détaillée

On note A, B, C les événements correspondant à l'origine de la pièce et D l'événement « la pièce est défectueuse ». L'énoncé donne P(A) = 0,5, P(B) = 0,3, P(C) = 0,2, puis P_A(D) = 0,02, P_B(D) = 0,04 et P_C(D) = 0,05.

Les événements A, B et C forment une partition de l'univers ; la formule des probabilités totales donne P(D) = P(A)P_A(D) + P(B)P_B(D) + P(C)P_C(D).

On calcule chaque branche : 0,5 × 0,02 = 0,01 ; 0,3 × 0,04 = 0,012 ; 0,2 × 0,05 = 0,01. Donc P(D) = 0,01 + 0,012 + 0,01 = 0,032, soit 3,2 % de pièces défectueuses.

La probabilité conditionnelle cherchée vaut P_D(A) = P(A ∩ D)P(D) = 0,010,032 = 0,3125.

Ainsi, environ 31,25 % des pièces défectueuses proviennent du site A. On remarque que ce pourcentage est inférieur à la part de production du site A (50 %), ce qui traduit sa meilleure qualité relative.

Exercice type Bac Probabilités conditionnelles Arbre pondéré Moyen

Exercice 2 — Test de dépistage

Dans une population, 4 % des individus sont porteurs d'une maladie. Un test donne un résultat positif pour 95 % des porteurs et pour 3 % des non-porteurs. Un individu est choisi au hasard et son test est positif : calculer la probabilité qu'il soit réellement porteur.

Voir la correction

Correction détaillée

On note M l'événement « être porteur » et T l'événement « le test est positif ». On a P(M) = 0,04, P_M(T) = 0,95 et P_M̄(T) = 0,03.

Par la formule des probabilités totales : P(T) = 0,04 × 0,95 + 0,96 × 0,03 = 0,038 + 0,0288 = 0,0668.

La probabilité cherchée est P_T(M) = P(M ∩ T)P(T) = 0,038 ÷ 0,0668.

On obtient P_T(M) ≈ 0,569. Malgré un test performant, un peu moins de 57 % des tests positifs correspondent à un porteur, en raison de la faible prévalence de la maladie.

Exercice type Bac Probabilités conditionnelles Arbre pondéré Moyen

Exercice 1 — Deux chaînes de production

Une usine produit des pièces sur deux chaînes : la chaîne A fournit 60 % de la production avec 2 % de pièces défectueuses, la chaîne B fournit le reste avec 5 % de pièces défectueuses. On prélève une pièce au hasard. Calculer la probabilité qu'elle soit défectueuse, puis la probabilité qu'elle vienne de A sachant qu'elle est défectueuse.

Voir la correction

Correction détaillée

On note A et B l'origine de la pièce et D l'événement « la pièce est défectueuse ». On a P(A) = 0,6, P(B) = 0,4, P_A(D) = 0,02 et P_B(D) = 0,05.

Probabilités totales : P(D) = 0,6 × 0,02 + 0,4 × 0,05 = 0,012 + 0,02 = 0,032, soit 3,2 % de pièces défectueuses.

P(A ∩ D) = 0,012, donc P_D(A) = 0,012 ÷ 0,032 = 0,375.

Une pièce défectueuse provient de la chaîne A avec une probabilité de 0,375, soit 37,5 %.