Fonction logarithme — sujets et exercices Bac

Des sujets officiels de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale) et des exercices originaux dans le format de l'épreuve, classés par chapitre, type et difficulté. Chaque exercice a sa correction détaillée rédigée par le site.

Les exercices marqués « Sujet officiel » reprennent fidèlement des énoncés réellement posés aux épreuves (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale, sujets publiés sur eduscol.education.fr et education.gouv.fr) ; leurs corrections sont rédigées par Mathrentree. Les exercices marqués « Exercice type » sont des exercices originaux rédigés dans le format et le niveau de l'épreuve.

Difficulté

Chapitre : Tous Calcul intégral Combinatoire et dénombrement Continuité Dérivation Fonction exponentielle Fonction logarithme Géométrie dans l'espace Limites de fonctions Loi binomiale Primitives et équations différentielles Probabilités conditionnelles Suites numériques

4 exercices corrigés.

Exercice type Bac Fonction logarithme QCM Facile

Exercice 1 — Résoudre une équation logarithmique

Résoudre dans ℝ l'équation ln(2x − 1) = 3, après avoir précisé l'ensemble de définition. Une seule réponse est exacte : x = e³/2, x = e³ + 12 ou x = ln 3 + 12 ?

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Correction détaillée

La fonction ln n'est définie que sur ]0 ; +∞[ : il faut 2x − 1 > 0, soit x > 12. L'équation est donc étudiée sur ]12 ; +∞[.

La fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien étant réciproques l'une de l'autre, l'équation ln(2x − 1) = 3 équivaut à 2x − 1 = e³.

On obtient 2x = e³ + 1, donc x = e³ + 12 ≈ 20,086 + 12 ≈ 10,54.

Cette valeur est bien supérieure à 12, elle appartient à l'ensemble de définition : la bonne réponse est x = e³ + 12.

Exercice type Bac Fonction logarithme Vrai/Faux justifié Moyen

Exercice 3 — Comparaison de x et de 2ln x

Affirmation : pour tout réel x strictement positif, x > 2 ln x. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier en étudiant la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x − 2 ln x.

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Correction détaillée

La fonction f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et f′(x) = 1 − 2x = x − 2x.

Sur ]0 ; +∞[ le dénominateur x est strictement positif, donc f′(x) est du signe de x − 2 : f′ est négative sur ]0 ; 2[ et positive sur ]2 ; +∞[.

La fonction f est donc strictement décroissante sur ]0 ; 2] puis strictement croissante sur [2 ; +∞[ : elle admet un minimum global en x = 2.

Ce minimum vaut f(2) = 2 − 2 ln 2 ≈ 2 − 1,386 = 0,614 > 0. Donc pour tout x > 0, f(x) ≥ f(2) > 0, c'est-à-dire x − 2 ln x > 0.

L'affirmation est donc VRAIE : pour tout x > 0, x > 2 ln x. On note au passage que lim f(x) = +∞ en 0⁺ et en +∞, ce qui est cohérent avec ce tableau de variations.

Exercice type Bac Fonction logarithme Étude de fonction Moyen

Exercice 2 — Tangente à la courbe du logarithme

Soit f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x − 2 ln x. Déterminer les variations de f, puis l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1.

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Correction détaillée

f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et f′(x) = 1 − 2x = x − 2x.

Sur ]0 ; +∞[, x > 0, donc f′(x) est du signe de x − 2 : f décroît sur ]0 ; 2] et croît sur [2 ; +∞[, avec un minimum f(2) = 2 − 2 ln 2 ≈ 0,61.

Au point d'abscisse 1 : f(1) = 1 − 0 = 1 et f′(1) = 1 − 21 = −1.

La tangente a pour équation y = f′(1)(x − 1) + f(1) = −(x − 1) + 1, soit y = −x + 2.

Exercice type Bac Fonction logarithme QCM Facile

Exercice 1 — Inéquation logarithmique

Résoudre dans ]0 ; +∞[ l'inéquation ln(x) + ln(x + 3) ≤ ln(10).

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Correction détaillée

Sur ]0 ; +∞[, x > 0 et x + 3 > 0, donc les deux logarithmes sont définis et on peut écrire ln(x(x + 3)) ≤ ln 10.

La fonction ln étant strictement croissante, l'inéquation équivaut à x(x + 3) ≤ 10, soit x² + 3x − 10 ≤ 0.

Le discriminant vaut Δ = 9 + 40 = 49, les racines sont −3 − 72 = −5 et −3 + 72 = 2. Le trinôme est négatif entre les racines : −5 ≤ x ≤ 2.

En tenant compte de x > 0, l'ensemble des solutions est S = ]0 ; 2].