Calcul intégral — sujets et exercices Bac

On pose u(x) = x et v′(x) = e⁻ˣ, d'où u′(x) = 1 et v(x) = −e⁻ˣ. Ces fonctions sont dérivables et de dérivées continues sur [0 ; 1].

La formule d'intégration par parties donne I = [u(x)v(x)]₀¹ − ∫₀¹ u′(x)v(x) dx = [−x e⁻ˣ]₀¹ + ∫₀¹ e⁻ˣ dx.

Le terme entre crochets vaut −1 × e⁻¹ − 0 = −e⁻¹. Et ∫₀¹ e⁻ˣ dx = [−e⁻ˣ]₀¹ = −e⁻¹ + 1.

Donc I = −e⁻¹ + 1 − e⁻¹ = 1 − 2e⁻¹, c'est-à-dire I = 1 − 2e.

Valeur approchée : 2e ≈ 0,7358, donc I ≈ 0,264. Cette valeur est positive, ce qui est cohérent puisque la fonction intégrée est positive sur [0 ; 1].

Les points d'intersection vérifient 4 − x² = x + 2, soit x² + x − 2 = 0. Le discriminant vaut Δ = 1 + 8 = 9, donc les racines sont x = −1 − 32 = −2 et x = −1 + 32 = 1.

Sur l'intervalle [−2 ; 1], on compare les deux courbes en posant d(x) = (4 − x²) − (x + 2) = 2 − x − x². Le trinôme −x² − x + 2 a pour racines −2 et 1 et un coefficient dominant négatif : il est donc positif entre ses racines, donc la parabole est au-dessus de la droite sur [−2 ; 1].

L'aire cherchée vaut donc 𝒜 = ∫₋₂¹ (2 − x − x²) dx = [2x − x²/2 − x³/3]₋₂¹.

En x = 1 : 2 − 12 − 13 = 76. En x = −2 : −4 − 2 + 83 = −103.

Donc 𝒜 = 76 − (−103) = 76 + 206 = 276 = 92 = 4,5. L'aire du domaine est de 4,5 unités d'aire.

Une primitive de x ↦ 2x est x ↦ x², et une primitive de x ↦ e²ˣ est x ↦ 0,5 e²ˣ.

Donc I = [x² + 0,5 e²ˣ] entre 0 et 1 = (1 + 0,5e²) − (0 + 0,5).

On obtient I = 0,5 + 0,5e² = 1 + e²2 ≈ 1 + 7,3892 ≈ 4,19.

La fonction intégrée étant positive sur [0 ; 1], I représente l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 1.

On pose u(x) = x et v′(x) = e⁻ˣ, d'où u′(x) = 1 et v(x) = −e⁻ˣ.

L'intégration par parties donne ∫ x e⁻ˣ dx = [−x e⁻ˣ] entre 0 et 1 + ∫ de 0 à 1 de e⁻ˣ dx = −e⁻¹ + [−e⁻ˣ] entre 0 et 1.

Or [−e⁻ˣ] entre 0 et 1 vaut −e⁻¹ + 1, donc l'intégrale vaut 1 − 2e⁻¹ ≈ 1 − 0,7358 ≈ 0,264.

L'intervalle [0 ; 1] est de longueur 1, donc la valeur moyenne est égale à l'intégrale : environ 0,264.