Géométrie dans l'espace — sujets et exercices Bac

Des sujets officiels de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale) et des exercices originaux dans le format de l'épreuve, classés par chapitre, type et difficulté. Chaque exercice a sa correction détaillée rédigée par le site.

Les exercices marqués « Sujet officiel » reprennent fidèlement des énoncés réellement posés aux épreuves (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale, sujets publiés sur eduscol.education.fr et education.gouv.fr) ; leurs corrections sont rédigées par Mathrentree. Les exercices marqués « Exercice type » sont des exercices originaux rédigés dans le format et le niveau de l'épreuve.

Difficulté

Chapitre : Tous Calcul intégral Combinatoire et dénombrement Continuité Dérivation Fonction exponentielle Fonction logarithme Géométrie dans l'espace Limites de fonctions Loi binomiale Primitives et équations différentielles Probabilités conditionnelles Suites numériques

5 exercices corrigés.

Exercice type Bac Géométrie dans l'espace Géométrie dans l'espace Moyen

Exercice 5 — Une diagonale orthogonale à un plan

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1, muni du repère orthonormé (A ; AB, AD, AE), dans lequel G est le sommet opposé à A. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE), puis donner une équation cartésienne de ce plan.

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Correction détaillée

Dans ce repère, on a A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1) et G(1 ; 1 ; 1). Le vecteur AG a donc pour coordonnées (1 ; 1 ; 1).

On calcule BD de coordonnées (−1 ; 1 ; 0) et BE de coordonnées (−1 ; 0 ; 1). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, ils dirigent donc le plan (BDE).

Produits scalaires : AG · BD = 1 × (−1) + 1 × 1 + 1 × 0 = 0 et AG · BE = 1 × (−1) + 1 × 0 + 1 × 1 = 0.

Le vecteur AG est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BDE) : la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE), et AG est un vecteur normal à ce plan.

Une équation du plan est alors de la forme x + y + z + d = 0. Le point B(1 ; 0 ; 0) appartient au plan, donc 1 + d = 0 et d = −1. Le plan (BDE) a pour équation x + y + z − 1 = 0, ce que vérifient également D et E.

Exercice type Bac Géométrie dans l'espace Géométrie dans l'espace Difficile

Exercice 6 — Position relative de deux droites

Dans un repère orthonormé de l'espace, la droite d₁ passe par A(1 ; 0 ; 2) et a pour vecteur directeur u(2 ; 1 ; −1) ; la droite d₂ passe par B(−1 ; 1 ; 0) et a pour vecteur directeur v(1 ; −1 ; 3). Déterminer la position relative de d₁ et d₂.

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Correction détaillée

On teste d'abord la colinéarité des vecteurs directeurs : si u et v étaient colinéaires, on aurait 21 = 1−1, ce qui est faux. Les droites ne sont donc ni parallèles ni confondues.

On cherche ensuite un éventuel point commun. Une représentation paramétrique de d₁ est (1 + 2t ; t ; 2 − t) avec t ∈ ℝ, et une de d₂ est (−1 + s ; 1 − s ; 3s) avec s ∈ ℝ.

On résout le système : 1 + 2t = −1 + s, t = 1 − s, 2 − t = 3s. En remplaçant t par 1 − s dans la troisième équation : 2 − (1 − s) = 3s, soit 1 + s = 3s, donc s = 0,5 et t = 0,5.

On reporte dans la première équation pour vérifier : à gauche 1 + 2 × 0,5 = 2, à droite −1 + 0,5 = −0,5. L'égalité 2 = −0,5 est fausse, donc le système n'a pas de solution.

Les droites d₁ et d₂ ne sont donc ni parallèles ni sécantes : elles ne sont pas coplanaires. Ce sont deux droites non coplanaires de l'espace.

Exercice type Bac Géométrie dans l'espace Géométrie dans l'espace Facile

Exercice 2 — Vecteur normal et plan

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 1 ; 2) et C(1 ; 2 ; 3). Montrer que le vecteur n(1 ; −2 ; 4) est normal au plan (ABC), puis donner une équation cartésienne de ce plan.

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Correction détaillée

On calcule les vecteurs AB(2 ; 1 ; 0) et AC(0 ; 2 ; 1). Ils ne sont pas colinéaires, donc A, B et C définissent bien un plan.

Produit scalaire n · AB = 1 × 2 + (−2) × 1 + 4 × 0 = 2 − 2 = 0, et n · AC = 1 × 0 + (−2) × 2 + 4 × 1 = −4 + 4 = 0.

n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : c'est donc un vecteur normal au plan (ABC).

Le plan a une équation de la forme x − 2y + 4z + d = 0. Avec A : 1 − 0 + 8 + d = 0, donc d = −9. Une équation cartésienne est x − 2y + 4z − 9 = 0.

Exercice type Bac Géométrie dans l'espace Géométrie dans l'espace Moyen

Exercice 4 — Intersection d'une droite et d'un plan

Dans un repère orthonormé, la droite d passe par D(2 ; −1 ; 0) et a pour vecteur directeur u(1 ; 2 ; −1). Le plan P a pour équation 2x − y + 3z − 4 = 0. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de d et de P.

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Correction détaillée

Une représentation paramétrique de d est x = 2 + t, y = −1 + 2t, z = −t, avec t ∈ ℝ.

Le vecteur normal de P est n(2 ; −1 ; 3) et n · u = 2 × 1 + (−1) × 2 + 3 × (−1) = 2 − 2 − 3 = −3 ≠ 0 : la droite n'est pas parallèle au plan, l'intersection est un point unique.

On remplace dans l'équation de P : 2(2 + t) − (−1 + 2t) + 3(−t) − 4 = 4 + 2t + 1 − 2t − 3t − 4 = 1 − 3t.

On résout 1 − 3t = 0, soit t = 13. Le point d'intersection a pour coordonnées (73 ; −13 ; −13).

Exercice type Bac Géométrie dans l'espace Vrai/Faux justifié Difficile

Exercice 3 — Distance d'un point à un plan

Dans un repère orthonormé, on considère le point A(3 ; 1 ; −2) et le plan P d'équation 2x + y − 2z + 1 = 0. Un élève affirme que la distance de A à P vaut 4. A-t-il raison ? Justifier par un calcul.

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Correction détaillée

La distance d'un point A(x₀ ; y₀ ; z₀) au plan d'équation ax + by + cz + d = 0 vaut |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| ÷ √a² + b² + c².

Au numérateur : |2 × 3 + 1 × 1 − 2 × (−2) + 1| = |6 + 1 + 4 + 1| = 12.

Au dénominateur : √2² + 1² + (−2)² = √4 + 1 + 4 = √9 = 3.

La distance vaut donc 12 ÷ 3 = 4 : l'élève a raison.