Primitives et équations différentielles — sujets et exercices Bac

L'équation est de la forme y′ = ay + b avec a = −2 et b = 6. Une solution particulière constante est obtenue en résolvant 0 = −2y + 6, soit y = 3.

Les solutions de l'équation homogène y′ = −2y sont les fonctions x ↦ Ce⁻²ˣ avec C ∈ ℝ.

L'ensemble des solutions est donc formé des fonctions x ↦ Ce⁻²ˣ + 3, où C est une constante réelle.

La condition y(0) = 5 donne C × 1 + 3 = 5, donc C = 2 : la solution cherchée est y(x) = 2e⁻²ˣ + 3.

Quand x → +∞, e⁻²ˣ → 0, donc y(x) → 3 : la solution tend vers la valeur d'équilibre 3.

On reconnaît une expression de la forme u′/u, à un coefficient près : si u(x) = x² + 1, alors u′(x) = 2x et u(x) > 0 pour tout réel x.

On écrit f(x) = (32) × 2x/(x² + 1) = (32) × u′xu(x).

Une primitive de u′/u sur un intervalle où u > 0 est ln(u), donc les primitives de f sont les fonctions x ↦ (32)ln(x² + 1) + C, avec C ∈ ℝ.

La condition F(0) = 2 donne (32)ln(1) + C = 2, or ln 1 = 0, donc C = 2.

La primitive cherchée est F(x) = (32)ln(x² + 1) + 2. On vérifie que F′(x) = (32) × 2x/(x² + 1) = 3x/(x² + 1) = f(x).

L'équation y′ = ay + b avec a = −2 et b = 6 a pour solutions les fonctions x ↦ Ce⁻²ˣ + 3, où C est une constante réelle, car la solution constante particulière est −ba = 62 = 3.

On utilise la condition initiale : f(0) = C e⁰ + 3 = C + 3 = 5, donc C = 2.

La solution cherchée est f(x) = 2e⁻²ˣ + 3.

Vérification : f est dérivable sur ℝ comme composée et produit de fonctions dérivables, et f′(x) = −4e⁻²ˣ et −2f(x) + 6 = −4e⁻²ˣ − 6 + 6 = −4e⁻²ˣ. L'égalité est bien satisfaite.

On reconnaît la forme u′eᵘ avec u(x) = x³ et u′(x) = 3x².

Une primitive de u′eᵘ est eᵘ, donc les primitives de f sont les fonctions F(x) = exp(x³) + k, avec k réel.

On impose F(0) = 4 : e⁰ + k = 1 + k = 4, donc k = 3.

La primitive cherchée est F(x) = exp(x³) + 3.