Loi binomiale — sujets et exercices Bac

Des sujets officiels de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale) et des exercices originaux dans le format de l'épreuve, classés par chapitre, type et difficulté. Chaque exercice a sa correction détaillée rédigée par le site.

Les exercices marqués « Sujet officiel » reprennent fidèlement des énoncés réellement posés aux épreuves (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale, sujets publiés sur eduscol.education.fr et education.gouv.fr) ; leurs corrections sont rédigées par Mathrentree. Les exercices marqués « Exercice type » sont des exercices originaux rédigés dans le format et le niveau de l'épreuve.

Difficulté

Chapitre : Tous Calcul intégral Combinatoire et dénombrement Continuité Dérivation Fonction exponentielle Fonction logarithme Géométrie dans l'espace Limites de fonctions Loi binomiale Primitives et équations différentielles Probabilités conditionnelles Suites numériques

4 exercices corrigés.

Exercice type Bac Loi binomiale QCM Facile

Exercice 3 — Paramètres d'une loi binomiale

Une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,3. Calculer P(X = 3) arrondie au millième, ainsi que l'espérance et l'écart type de X.

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Correction détaillée

La formule de la loi binomiale donne P(X = k) = C(n ; k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Ici P(X = 3) = C(10 ; 3) × 0,3³ × 0,7⁷.

On calcule C(10 ; 3) = 10 × 9 × 83 × 2 × 1 = 120, puis 0,3³ = 0,027 et 0,7⁷ ≈ 0,082354.

Donc P(X = 3) ≈ 120 × 0,027 × 0,082354 ≈ 0,267.

L'espérance vaut E(X) = np = 10 × 0,3 = 3, et la variance V(X) = np(1 − p) = 10 × 0,3 × 0,7 = 2,1.

L'écart type est donc σ(X) = √2,1 ≈ 1,449.

Exercice type Bac Loi binomiale Algorithmique (Python) Moyen

Exercice 4 — Taille d'échantillon et seuil

Une machine produit des pièces dont 20 % présentent un défaut mineur. On prélève au hasard n pièces, assimilées à un tirage avec remise, et on note X le nombre de pièces présentant ce défaut. Déterminer le plus petit entier n tel que la probabilité d'observer au moins une pièce défectueuse dépasse 0,99, et écrire un script Python renvoyant ce seuil.

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Correction détaillée

Le prélèvement est assimilé à n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p = 0,2 : X suit la loi binomiale de paramètres n et 0,2.

L'événement contraire de « au moins une pièce défectueuse » est « aucune pièce défectueuse », donc P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,8ⁿ.

L'inéquation 1 − 0,8ⁿ ≥ 0,99 équivaut à 0,8ⁿ ≤ 0,01. En passant au logarithme népérien et en divisant par ln 0,8 qui est négatif (ce qui inverse le sens) : n ≥ ln 0,01ln 0,8 ≈ −4,605−0,2231 ≈ 20,64.

Le plus petit entier convenable est donc n = 21. Vérification : 0,8²⁰ ≈ 0,0115 donne P(X ≥ 1) ≈ 0,9885 < 0,99, tandis que 0,8²¹ ≈ 0,0092 donne P(X ≥ 1) ≈ 0,9908 ≥ 0,99.

Script Python : def seuil(): n = 0 ; p = 1.0 ; while 1 − p < 0.99 : n = n + 1 ; p = p * 0.8 ; return n. Ce script renvoie 21 : il faut prélever au moins 21 pièces.

Exercice type Bac Loi binomiale Problème d'optimisation Moyen

Exercice 3 — Contrôle qualité

Dans un lot important, 5 % des articles sont défectueux. On prélève au hasard un échantillon de 20 articles, ce qui est assimilé à un tirage avec remise. On note X le nombre d'articles défectueux. Déterminer la loi de X, son espérance, puis la probabilité qu'au moins un article soit défectueux.

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Correction détaillée

Le prélèvement est assimilé à 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès p = 0,05. Donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,05.

L'espérance vaut E(X) = np = 20 × 0,05 = 1 : on attend en moyenne 1 article défectueux par échantillon.

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,95²⁰.

Or 0,95²⁰ ≈ 0,3585, donc P(X ≥ 1) ≈ 0,641. Il y a environ 64 % de chances qu'au moins un article soit défectueux.

Exercice type Bac Loi binomiale Algorithmique (Python) Difficile

Exercice 4 — Seuil de tirs réussis

Un basketteur réussit chaque lancer franc avec une probabilité de 0,7, les lancers étant indépendants. Il effectue 10 lancers et on note Y le nombre de réussites. Calculer P(Y = 8), puis déterminer le plus petit entier k tel que P(Y ≤ k) ≥ 0,5.

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Correction détaillée

Y suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,7, donc P(Y = k) = C(10 ; k) × 0,7ᵏ × 0,3¹⁰⁻ᵏ.

Pour k = 8 : C(10 ; 8) = 45, 0,7⁸ ≈ 0,05765 et 0,3² = 0,09, donc P(Y = 8) ≈ 45 × 0,05765 × 0,09 ≈ 0,233.

L'espérance vaut E(Y) = 10 × 0,7 = 7. On calcule les probabilités cumulées : P(Y ≤ 5) ≈ 0,150, P(Y ≤ 6) ≈ 0,350 et P(Y ≤ 7) ≈ 0,617.

Le plus petit entier k tel que P(Y ≤ k) ≥ 0,5 est donc k = 7, valeur que renvoie la boucle Python cumulant les P(Y = i) jusqu'à dépasser 0,5.