Combinatoire et dénombrement — sujets et exercices Bac

Des sujets officiels de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale) et des exercices originaux dans le format de l'épreuve, classés par chapitre, type et difficulté. Chaque exercice a sa correction détaillée rédigée par le site.

Les exercices marqués « Sujet officiel » reprennent fidèlement des énoncés réellement posés aux épreuves (session indiquée, source : ministère de l'Éducation nationale, sujets publiés sur eduscol.education.fr et education.gouv.fr) ; leurs corrections sont rédigées par Mathrentree. Les exercices marqués « Exercice type » sont des exercices originaux rédigés dans le format et le niveau de l'épreuve.

Difficulté

Chapitre : Tous Calcul intégral Combinatoire et dénombrement Continuité Dérivation Fonction exponentielle Fonction logarithme Géométrie dans l'espace Limites de fonctions Loi binomiale Primitives et équations différentielles Probabilités conditionnelles Suites numériques

4 exercices corrigés.

Exercice type Bac Combinatoire et dénombrement QCM Moyen

Exercice 2 — Codes à quatre chiffres

Un cadenas électronique s'ouvre avec un code de 4 chiffres, chaque chiffre allant de 0 à 9. Combien y a-t-il de codes possibles ? Combien comportent quatre chiffres deux à deux distincts ? En déduire la probabilité qu'un code choisi au hasard ait ses quatre chiffres distincts.

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Correction détaillée

Un code est une liste ordonnée de 4 chiffres choisis parmi 10, avec répétitions autorisées : il y en a 10⁴ = 10 000.

Pour un code à chiffres deux à deux distincts, on choisit successivement sans remise : 10 possibilités pour le premier chiffre, 9 pour le deuxième, 8 pour le troisième et 7 pour le quatrième.

Cela donne 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 codes, ce qui correspond au nombre d'arrangements de 4 éléments parmi 10.

Tous les codes étant équiprobables, la probabilité cherchée vaut 5040/10 000 = 0,504.

Un code tiré au hasard a donc un peu plus d'une chance sur deux d'avoir ses quatre chiffres distincts.

Exercice type Bac Combinatoire et dénombrement Vrai/Faux justifié Moyen

Exercice 1 — Composition d'un comité

Une association compte 12 membres : 7 femmes et 5 hommes. On tire au sort un comité de 4 personnes. Déterminer le nombre de comités possibles, le nombre de comités comptant exactement 2 femmes, puis la probabilité que le comité compte au moins une femme.

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Correction détaillée

Un comité est une partie de 4 éléments d'un ensemble de 12, l'ordre n'intervenant pas : il y en a C(12 ; 4) = 12 × 11 × 10 × 94 × 3 × 2 × 1 = 11 88024 = 495.

Pour un comité comptant exactement 2 femmes, on choisit 2 femmes parmi 7 et 2 hommes parmi 5 : C(7 ; 2) × C(5 ; 2) = 21 × 10 = 210 comités.

L'événement « au moins une femme » a pour événement contraire « aucune femme », c'est-à-dire un comité composé uniquement d'hommes : il y en a C(5 ; 4) = 5.

Le nombre de comités comptant au moins une femme est donc 495 − 5 = 490.

La probabilité cherchée vaut 490495 = 9899 ≈ 0,990 : il est quasiment certain que le comité compte au moins une femme.

Exercice type Bac Combinatoire et dénombrement QCM Facile

Exercice 1 — Choix d'une délégation

Une classe compte 30 élèves. On souhaite former une délégation de 3 élèves, sans distinction de rôle. Combien de délégations différentes peut-on constituer ?

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Correction détaillée

L'ordre des élèves choisis n'intervient pas et il n'y a pas de répétition : il s'agit d'une combinaison de 3 éléments parmi 30.

Le nombre cherché est donc C(30 ; 3) = 30 × 29 × 283 × 2 × 1.

On calcule le numérateur : 30 × 29 = 870, puis 870 × 28 = 24 360. Le dénominateur vaut 6.

Donc C(30 ; 3) = 24 360 ÷ 6 = 4 060 délégations possibles.

Exercice type Bac Combinatoire et dénombrement Problème d'optimisation Difficile

Exercice 2 — Tirage de jetons

Un sac contient 7 jetons rouges et 5 jetons noirs. On en tire simultanément 4 au hasard. Calculer le nombre de tirages possibles, puis la probabilité d'obtenir exactement 2 jetons de chaque couleur.

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Correction détaillée

Le sac contient 12 jetons ; un tirage simultané de 4 jetons est une combinaison : C(12 ; 4) = 12 × 11 × 10 × 924 = 11 88024 = 495 tirages possibles.

Pour obtenir 2 rouges parmi 7 : C(7 ; 2) = 21. Pour 2 noirs parmi 5 : C(5 ; 2) = 10.

Le nombre de tirages favorables est 21 × 10 = 210.

La probabilité cherchée vaut 210495 = 1433 ≈ 0,424.