Exercices corrigés — Sommes de variables aléatoires (Terminale)

a) X compte les succès de 10 épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,3, et Y ceux de 15 autres épreuves du même paramètre, indépendantes des premières. X + Y compte donc les succès de 25 épreuves indépendantes de paramètre 0,3 : X + Y suit ℬ(25 ; 0,3).
b) Avec la loi binomiale : E(X + Y) = 25 × 0,3 = 7,5 et V(X + Y) = 25 × 0,3 × 0,7 = 5,25. Avec les règles sur les sommes : E(X) + E(Y) = 3 + 4,5 = 7,5, et, par indépendance, V(X) + V(Y) = 2,1 + 3,15 = 5,25. Les deux méthodes concordent.
c) Non : les paramètres 0,3 et 0,5 sont différents. X + Z est une somme de 15 variables de Bernoulli indépendantes, mais elles n'ont pas toutes la même probabilité de succès ; elle ne suit pas une loi binomiale (par exemple, P(X + Z = 0) = 0,7¹⁰ × 0,5⁵ ne correspond à aucune loi ℬ(15 ; p)). On peut néanmoins calculer E(X + Z) = 3 + 2,5 = 5,5 et V(X + Z) = 2,1 + 1,25 = 3,35.

a) T = G₁ + G₂ + … + G₄₀₀, où les G_i sont indépendantes et de même loi que G.
Par linéarité, E(T) = 400 × E(G) = 400 × (−0,5) = −200 €.
Par indépendance, les variances s'additionnent : V(T) = 400 × V(G) = 400 × 4² = 400 × 16 = 6 400, donc σ(T) = √6 400 = 80 €. On remarque que σ(T) = √400 × σ(G) = 20 × 4 : l'écart type est multiplié par √400 = 20, et non par 400.
b) Sur 400 parties, le joueur perd en moyenne 200 €, avec des fluctuations typiques de l'ordre de 80 €. Terminer gagnant (T > 0) demanderait un écart de 200 € au-dessus de la moyenne, soit 2,5 écarts types : c'est possible mais peu probable. Plus le nombre de parties augmente, plus la perte moyenne s'impose face aux fluctuations, qui ne croissent qu'en √n.