Sommes de variables aléatoires — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 10 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Variable aléatoire finie
Rappels
Une variable aléatoire réelle X associe un réel à chaque issue. Sa loi donne les valeurs xi et leurs probabilités pi. Pour une variable finie :
E(X) = ∑ xipi ; V(X) = E[(X − E(X))2] = E(X2) − E(X)2.
Interprétation
L'espérance est la valeur moyenne théorique obtenue sur un grand nombre de répétitions. La variance et l'écart type mesurent la dispersion autour de l'espérance. La variance est exprimée dans l'unité au carré ; l'écart type possède la même unité que X.
2. Transformation affine
Formules
Pour tous réels a, b :
E(aX + b) = aE(X) + b ; V(aX + b) = a2V(X).
Donc σ(aX + b) = |a|σ(X). Ajouter une constante déplace toutes les valeurs sans modifier la dispersion.
3. Somme de variables
Linéarité de l'espérance
Pour toutes variables aléatoires X, Y ayant une espérance :
E(X + Y) = E(X) + E(Y).
Cette propriété ne nécessite pas l'indépendance. Plus généralement, E(∑Xi) = ∑E(Xi).
Variance d'une somme indépendante
Si X et Y sont indépendantes, alors :
V(X + Y) = V(X) + V(Y).
Plus généralement, les variances d'une somme de variables mutuellement indépendantes s'additionnent. En revanche, les écarts types ne s'additionnent pas.
Indépendance de variables aléatoires
Des variables finies X et Y sont indépendantes lorsque, pour toutes valeurs x et y, P(X = x et Y = y) = P(X = x)P(Y = y).
4. Somme de variables de Bernoulli
Lien avec la loi binomiale
Si X1, ..., Xn sont des variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre p, alors Sn = X1 + … + Xn compte les succès et suit ℬ(n,p).
Somme de binomiales
Si X suit ℬ(n,p) et Y suit ℬ(m,p), et si X, Y sont indépendantes, alors X + Y suit ℬ(n + m,p). Les paramètres p doivent être les mêmes.
6. Moyenne d'un échantillon
Définition
Pour des variables X1, ..., Xn indépendantes et de même loi, de moyenne μ et variance σ2, la moyenne empirique est :
Mn = X1 + … + Xnn.
Paramètres de la moyenne
E(Mn) = μ ; V(Mn) = σ2n ; σ(Mn) = σ√n.
La moyenne reste centrée sur μ, mais sa dispersion diminue comme 1√n.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Démonstration de la variance
E(aX + b) = aE(X) + b. Ainsi :
aX + b − E(aX + b) = a(X − E(X)). En élevant au carré et en prenant l'espérance, V(aX + b) = a2V(X).
Méthode 2Démonstration
Par linéarité, E(Mn) = (1n)∑E(Xi) = μ. Par indépendance, V(∑Xi) = nσ2. Le facteur 1n est mis au carré pour la variance : V(Mn) = (1n2)nσ2 = σ2n.
Méthode 3Erreurs fréquentes
- Exiger l'indépendance pour additionner les espérances : elle n'est pas nécessaire.
- Additionner les variances sans indépendance.
- Écrire V(aX) = aV(X) au lieu de a2V(X).
- Diviser l'écart type de la moyenne par n au lieu de √n.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés