Exercices corrigés — Sommes de variables aléatoires (Terminale)

a) Le dé est équilibré : chaque face a la probabilité 16. G = 6 pour la face 6 (probabilité 16) ; G = 1 pour les faces 2 et 4 (probabilité 26 = 13) ; G = −2 pour les faces 1, 3 et 5 (probabilité 36 = 12). On vérifie que 16 + 13 + 12 = 1.
b) E(G) = 6 × 16 + 1 × 13 + (−2) × 12 = 1 + 13 − 1 = 13 ≈ 0,33 € : le jeu est légèrement favorable au joueur, qui gagne en moyenne 33 centimes par partie sur le long terme.
E(G²) = 36 × 16 + 1 × 13 + 4 × 12 = 6 + 13 + 2 = 253. Donc V(G) = E(G²) − E(G)² = 253 − 19 = 759 − 19 = 749 ≈ 8,22.
σ(G) = √749 = √743 ≈ 2,87 €. L'écart type est grand devant l'espérance : le gain d'une partie fluctue beaucoup autour de sa moyenne.

pour Y = aX + b, on a E(Y) = aE(X) + b et V(Y) = a²V(X). Ici a = −2 et b = 5.
E(Y) = −2 × 4 + 5 = −3.
V(Y) = (−2)² × 9 = 4 × 9 = 36. La constante 5 n'intervient pas : ajouter une constante décale toutes les valeurs sans changer leur dispersion. Le coefficient −2 est élevé au carré, donc le signe disparaît.
σ(Y) = √36 = 6 = |−2| × σ(X), puisque σ(X) = √9 = 3. Erreur classique à éviter : écrire V(Y) = −2 × 9 ; une variance est toujours positive.

a) La linéarité de l'espérance ne demande aucune hypothèse d'indépendance : E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 3 + (−1) = 2, et E(2X − 3Y + 4) = 2E(X) − 3E(Y) + 4 = 6 + 3 + 4 = 13.
b) Non. La formule V(X + Y) = V(X) + V(Y) n'est valable que si X et Y sont indépendantes, et l'on ne connaît d'ailleurs pas V(X) ni V(Y).
Exemple montrant que l'indépendance est indispensable : si Y = −X, alors X + Y = 0 est constante et V(X + Y) = 0, alors que V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0 dès que X n'est pas constante. À l'inverse, si Y = X, V(X + Y) = V(2X) = 4V(X) ≠ 2V(X).
Retenir : les espérances s'additionnent toujours ; les variances ne s'additionnent qu'avec indépendance.

on écrit 3X − 2Y = 3X + (−2)Y. Les variables 3X et −2Y sont indépendantes (chacune ne dépend que de l'une des deux variables), donc leurs variances s'additionnent : V(3X − 2Y) = V(3X) + V(−2Y).
Avec V(aX) = a²V(X) : V(3X) = 9 × 4 = 36 et V(−2Y) = (−2)² × 7 = 28.
V(3X − 2Y) = 36 + 28 = 64, et l'écart type vaut √64 = 8.
Le signe moins devant 2Y n'a pas donné une soustraction : la variance de X − Y est V(X) + V(Y), jamais V(X) − V(Y), qui pourrait être négatif.

a) X compte les succès de 10 épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,3, et Y ceux de 15 autres épreuves du même paramètre, indépendantes des premières. X + Y compte donc les succès de 25 épreuves indépendantes de paramètre 0,3 : X + Y suit ℬ(25 ; 0,3).
b) Avec la loi binomiale : E(X + Y) = 25 × 0,3 = 7,5 et V(X + Y) = 25 × 0,3 × 0,7 = 5,25. Avec les règles sur les sommes : E(X) + E(Y) = 3 + 4,5 = 7,5, et, par indépendance, V(X) + V(Y) = 2,1 + 3,15 = 5,25. Les deux méthodes concordent.
c) Non : les paramètres 0,3 et 0,5 sont différents. X + Z est une somme de 15 variables de Bernoulli indépendantes, mais elles n'ont pas toutes la même probabilité de succès ; elle ne suit pas une loi binomiale (par exemple, P(X + Z = 0) = 0,7¹⁰ × 0,5⁵ ne correspond à aucune loi ℬ(15 ; p)). On peut néanmoins calculer E(X + Z) = 3 + 2,5 = 5,5 et V(X + Z) = 2,1 + 1,25 = 3,35.

a) T = G₁ + G₂ + … + G₄₀₀, où les G_i sont indépendantes et de même loi que G.
Par linéarité, E(T) = 400 × E(G) = 400 × (−0,5) = −200 €.
Par indépendance, les variances s'additionnent : V(T) = 400 × V(G) = 400 × 4² = 400 × 16 = 6 400, donc σ(T) = √6 400 = 80 €. On remarque que σ(T) = √400 × σ(G) = 20 × 4 : l'écart type est multiplié par √400 = 20, et non par 400.
b) Sur 400 parties, le joueur perd en moyenne 200 €, avec des fluctuations typiques de l'ordre de 80 €. Terminer gagnant (T > 0) demanderait un écart de 200 € au-dessus de la moyenne, soit 2,5 écarts types : c'est possible mais peu probable. Plus le nombre de parties augmente, plus la perte moyenne s'impose face aux fluctuations, qui ne croissent qu'en √n.

chaque mesure a pour écart type σ = √25 = 5. Pour n mesures indépendantes et de même loi, la moyenne M_n a pour variance σ²n = 25n et pour écart type σ√n = 5√n.
On veut 5√n ≤ 0,5, soit √n ≥ 10, donc n ≥ 100 (en élevant au carré, ce qui est permis car les deux membres sont positifs).
Il faut moyenner au moins 100 mesures. Vérification : pour n = 100, l'écart type de la moyenne vaut 510 = 0,5.
Diviser l'écart type par 10 exige de multiplier le nombre de mesures par 100 : la précision d'une moyenne s'améliore comme √n, donc lentement. C'est le prix à payer pour réduire l'incertitude par répétition.

a) Pour tout n, E(M_n) = μ = 500 mL : la moyenne d'échantillon est centrée sur la vraie valeur. σ(M_n) = σ√n = 6√n : pour n = 9, 63 = 2 mL ; pour n = 36, 66 = 1 mL ; pour n = 144, 612 = 0,5 mL.
b) 6√n ≤ 0,5 ⇔ √n ≥ 12 ⇔ n ≥ 144. À partir de 144 bouteilles, la moyenne mesurée s'écarte typiquement de moins de 0,5 mL de 500.
c) M_n = (1n)(X₁ + … + X_n). Par indépendance, la variance de la somme est nσ². Multiplier une variable par 1n multiplie sa variance par (1n)² : V(M_n) = nσ²n² = σ²n. En prenant la racine carrée, σ(M_n) = σ√n.
C'est la racine qui explique la lenteur du gain de précision : quadrupler l'échantillon ne divise l'écart type que par 2, comme on le voit en passant de 9 à 36 puis de 36 à 144 bouteilles.