Exercices corrigés — Sommes de variables aléatoires (Terminale)

chaque mesure a pour écart type σ = √25 = 5. Pour n mesures indépendantes et de même loi, la moyenne M_n a pour variance σ²n = 25n et pour écart type σ√n = 5√n.
On veut 5√n ≤ 0,5, soit √n ≥ 10, donc n ≥ 100 (en élevant au carré, ce qui est permis car les deux membres sont positifs).
Il faut moyenner au moins 100 mesures. Vérification : pour n = 100, l'écart type de la moyenne vaut 510 = 0,5.
Diviser l'écart type par 10 exige de multiplier le nombre de mesures par 100 : la précision d'une moyenne s'améliore comme √n, donc lentement. C'est le prix à payer pour réduire l'incertitude par répétition.

a) Pour tout n, E(M_n) = μ = 500 mL : la moyenne d'échantillon est centrée sur la vraie valeur. σ(M_n) = σ√n = 6√n : pour n = 9, 63 = 2 mL ; pour n = 36, 66 = 1 mL ; pour n = 144, 612 = 0,5 mL.
b) 6√n ≤ 0,5 ⇔ √n ≥ 12 ⇔ n ≥ 144. À partir de 144 bouteilles, la moyenne mesurée s'écarte typiquement de moins de 0,5 mL de 500.
c) M_n = (1n)(X₁ + … + X_n). Par indépendance, la variance de la somme est nσ². Multiplier une variable par 1n multiplie sa variance par (1n)² : V(M_n) = nσ²n² = σ²n. En prenant la racine carrée, σ(M_n) = σ√n.
C'est la racine qui explique la lenteur du gain de précision : quadrupler l'échantillon ne divise l'écart type que par 2, comme on le voit en passant de 9 à 36 puis de 36 à 144 bouteilles.