Q1 QCM Si E(X) = 5, combien vaut E(3X + 2) ? 17 15 7 21 Voir la correction Correction Par linéarité, E(3X + 2) = 3E(X) + 2 = 15 + 2 = 17.
Q2 QCM Si V(X) = 3, combien vaut V(2X) ? 12 6 3 9 Voir la correction Correction V(aX) = a²V(X), donc V(2X) = 4 × 3 = 12.
Q3 QCM X et Y sont indépendantes, avec V(X) = 2 et V(Y) = 5. Combien vaut V(X + Y) ? 7 10 3 √7 Voir la correction Correction Pour des variables indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances : 2 + 5 = 7.
Q4 QCM Sₙ est la somme de n variables aléatoires indépendantes de même loi, d'espérance μ. Combien vaut E(Sₙ) ? nμ μ μ/n n²μ Voir la correction Correction L'espérance est additive : E(Sₙ) = μ + μ + ... + μ = nμ.
Q5 QCM Mₙ est la moyenne d'un échantillon de taille n de variables indépendantes de variance σ². Combien vaut V(Mₙ) ? σ²/n σ² nσ² σ/√n Voir la correction Correction V(Mₙ) = V(Sₙ/n) = (1n²) × nσ² = σ²/n.
Q6 Vrai / Faux L'égalité E(X + Y) = E(X) + E(Y) reste vraie même si X et Y ne sont pas indépendantes. Vrai Faux Voir la correction Correction La linéarité de l'espérance ne demande aucune hypothèse d'indépendance.
Q7 Vrai / Faux L'égalité V(X + Y) = V(X) + V(Y) est vraie pour toutes les variables aléatoires X et Y. Vrai Faux Voir la correction Correction Cette égalité nécessite l'indépendance de X et Y ; par exemple pour Y = X on a V(2X) = 4V(X) ≠ 2V(X).
Q8 Calcul X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,3. Combien vaut E(X) ? Voir la correction Correction Pour une loi binomiale, E(X) = np = 20 × 0,3 = 6.
Q9 Calcul Un échantillon de taille n = 9 est issu d'une loi d'écart type σ = 6. Quel est l'écart type de la moyenne Mₙ ? Voir la correction Correction L'écart type de Mₙ vaut σ/√n = 63 = 2.
Q10 Calcul On sait que E(X) = 4 et E(Y) = −1. Combien vaut E(2X + 3Y) ? Voir la correction Correction E(2X + 3Y) = 2×4 + 3×(−1) = 8 − 3 = 5.