Sommes de variables aléatoires — cours de Terminale
Variable aléatoire finie, Transformation affine, Somme de variables, Somme de variables de Bernoulli Lecture ≈ 4 min.
1. Variable aléatoire finie
Une variable aléatoire réelle X associe un réel à chaque issue. Sa loi donne les valeurs xi et leurs probabilités pi. Pour une variable finie :
E(X) = ∑ xipi ; V(X) = E[(X − E(X))2] = E(X2) − E(X)2.
L'espérance est la valeur moyenne théorique obtenue sur un grand nombre de répétitions. La variance et l'écart type mesurent la dispersion autour de l'espérance. La variance est exprimée dans l'unité au carré ; l'écart type possède la même unité que X.
2. Transformation affine
Pour tous réels a, b :
E(aX + b) = aE(X) + b ; V(aX + b) = a2V(X).
Donc σ(aX + b) = |a|σ(X). Ajouter une constante déplace toutes les valeurs sans modifier la dispersion.
E(aX + b) = aE(X) + b. Ainsi :
aX + b − E(aX + b) = a(X − E(X)). En élevant au carré et en prenant l'espérance, V(aX + b) = a2V(X).
3. Somme de variables
Pour toutes variables aléatoires X, Y ayant une espérance :
E(X + Y) = E(X) + E(Y).
Cette propriété ne nécessite pas l'indépendance. Plus généralement, E(∑Xi) = ∑E(Xi).
Si X et Y sont indépendantes, alors :
V(X + Y) = V(X) + V(Y).
Plus généralement, les variances d'une somme de variables mutuellement indépendantes s'additionnent. En revanche, les écarts types ne s'additionnent pas.
Des variables finies X et Y sont indépendantes lorsque, pour toutes valeurs x et y, P(X = x et Y = y) = P(X = x)P(Y = y).
Deux dés équilibrés indépendants donnent X et Y. Pour un dé, E(X) = 3,5 et V(X) = 3512. Pour la somme S = X + Y :
E(S) = 3,5 + 3,5 = 7 et V(S) = 3512 + 3512 = 356. L'écart type vaut √356 ≈ 2,42.
4. Somme de variables de Bernoulli
Si X1, ..., Xn sont des variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre p, alors Sn = X1 + … + Xn compte les succès et suit ℬ(n,p).
Si X suit ℬ(n,p) et Y suit ℬ(m,p), et si X, Y sont indépendantes, alors X + Y suit ℬ(n + m,p). Les paramètres p doivent être les mêmes.
5. Gain total et modèles
À chaque partie indépendante, un joueur gagne 5 € avec probabilité 0,3 et perd 2 € sinon. Le gain G d'une partie a :
E(G) = 5 × 0,3 − 2 × 0,7 = 0,1 €.
E(G2) = 25 × 0,3 + 4 × 0,7 = 10,3, donc V(G) = 10,3 − 0,12 = 10,29.
Après 100 parties indépendantes, T = G1 + … + G100 a E(T) = 10 € et V(T) = 1029, donc σ(T) ≈ 32,08 €. Un gain moyen positif ne garantit pas un gain sur une série particulière.
6. Moyenne d'un échantillon
Pour des variables X1, ..., Xn indépendantes et de même loi, de moyenne μ et variance σ2, la moyenne empirique est :
Mn = X1 + … + Xnn.
E(Mn) = μ ; V(Mn) = σ2n ; σ(Mn) = σ√n.
La moyenne reste centrée sur μ, mais sa dispersion diminue comme 1√n.
Par linéarité, E(Mn) = (1n)∑E(Xi) = μ. Par indépendance, V(∑Xi) = nσ2. Le facteur 1n est mis au carré pour la variance : V(Mn) = (1n2)nσ2 = σ2n.
- Exiger l'indépendance pour additionner les espérances : elle n'est pas nécessaire.
- Additionner les variances sans indépendance.
- Écrire V(aX) = aV(X) au lieu de a2V(X).
- Diviser l'écart type de la moyenne par n au lieu de √n.