Exercices corrigés — Sommes de variables aléatoires (Terminale)

a) La linéarité de l'espérance ne demande aucune hypothèse d'indépendance : E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 3 + (−1) = 2, et E(2X − 3Y + 4) = 2E(X) − 3E(Y) + 4 = 6 + 3 + 4 = 13.
b) Non. La formule V(X + Y) = V(X) + V(Y) n'est valable que si X et Y sont indépendantes, et l'on ne connaît d'ailleurs pas V(X) ni V(Y).
Exemple montrant que l'indépendance est indispensable : si Y = −X, alors X + Y = 0 est constante et V(X + Y) = 0, alors que V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0 dès que X n'est pas constante. À l'inverse, si Y = X, V(X + Y) = V(2X) = 4V(X) ≠ 2V(X).
Retenir : les espérances s'additionnent toujours ; les variances ne s'additionnent qu'avec indépendance.

on écrit 3X − 2Y = 3X + (−2)Y. Les variables 3X et −2Y sont indépendantes (chacune ne dépend que de l'une des deux variables), donc leurs variances s'additionnent : V(3X − 2Y) = V(3X) + V(−2Y).
Avec V(aX) = a²V(X) : V(3X) = 9 × 4 = 36 et V(−2Y) = (−2)² × 7 = 28.
V(3X − 2Y) = 36 + 28 = 64, et l'écart type vaut √64 = 8.
Le signe moins devant 2Y n'a pas donné une soustraction : la variance de X − Y est V(X) + V(Y), jamais V(X) − V(Y), qui pourrait être négatif.