Exercices corrigés — Sommes de variables aléatoires (Terminale)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Découverte ». Voir les 8 exercices.

Exercice 1 Découverte

On lance un dé équilibré. Si le 6 sort, on gagne 6 € ; si un autre nombre pair sort, on gagne 1 € ; sinon on perd 2 €. On note G le gain, en euros. a) Donner la loi de G. b) Calculer E(G), V(G) et σ(G).

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Correction détaillée

a) Le dé est équilibré : chaque face a la probabilité 16. G = 6 pour la face 6 (probabilité 16) ; G = 1 pour les faces 2 et 4 (probabilité 26 = 13) ; G = −2 pour les faces 1, 3 et 5 (probabilité 36 = 12). On vérifie que 16 + 13 + 12 = 1.
b) E(G) = 6 × 16 + 1 × 13 + (−2) × 12 = 1 + 13 − 1 = 13 ≈ 0,33 € : le jeu est légèrement favorable au joueur, qui gagne en moyenne 33 centimes par partie sur le long terme.
E(G²) = 36 × 16 + 1 × 13 + 4 × 12 = 6 + 13 + 2 = 253. Donc V(G) = E(G²) − E(G)² = 253 − 19 = 759 − 19 = 749 ≈ 8,22.
σ(G) = √749 = √743 ≈ 2,87 €. L'écart type est grand devant l'espérance : le gain d'une partie fluctue beaucoup autour de sa moyenne.

Exercice 2 Découverte

On sait que E(X) = 4 et V(X) = 9. Déterminer l'espérance, la variance et l'écart type de Y = −2X + 5.

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Correction détaillée

pour Y = aX + b, on a E(Y) = aE(X) + b et V(Y) = a²V(X). Ici a = −2 et b = 5.
E(Y) = −2 × 4 + 5 = −3.
V(Y) = (−2)² × 9 = 4 × 9 = 36. La constante 5 n'intervient pas : ajouter une constante décale toutes les valeurs sans changer leur dispersion. Le coefficient −2 est élevé au carré, donc le signe disparaît.
σ(Y) = √36 = 6 = |−2| × σ(X), puisque σ(X) = √9 = 3. Erreur classique à éviter : écrire V(Y) = −2 × 9 ; une variance est toujours positive.

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