Exercices corrigés — Schéma de Bernoulli et loi binomiale (Terminale)

pour une loi binomiale ℬ(n ; p), E(X) = np, V(X) = np(1 − p) et σ(X) = √[np(1 − p)]. Ces formules s'obtiennent en écrivant X comme somme de 50 variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,2.
E(X) = 50 × 0,2 = 10 : sur un grand nombre de répétitions de l'expérience, on observe en moyenne 10 succès sur 50.
V(X) = 50 × 0,2 × 0,8 = 8, et σ(X) = √8 = 2√2 ≈ 2,83.
Interprétation : le nombre de succès s'écarte typiquement de 2 à 3 unités autour de 10. Des valeurs comme 4 ou 16, à plus de deux écarts types de la moyenne, sont peu probables.

a) L'événement X ≤ 4 est la réunion disjointe de X ≤ 3 et X = 4, donc P(X = 4) = P(X ≤ 4) − P(X ≤ 3) ≈ 0,5245 − 0,3217 = 0,2028. Vérification par la formule : C(30,4) × 0,15⁴ × 0,85²⁶ ≈ 0,2028.
b) X ≥ 5 est le contraire de X ≤ 4 : P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) ≈ 1 − 0,5245 = 0,4755.
c) P(4 ≤ X ≤ 8) = P(X ≤ 8) − P(X ≤ 3) ≈ 0,9722 − 0,3217 = 0,6505. Attention à retirer P(X ≤ 3) et non P(X ≤ 4), pour conserver la valeur 4.
d) P(X ≤ 7) ≈ 0,9302 < 0,95 et P(X ≤ 8) ≈ 0,9722 ≥ 0,95 : le plus petit entier qui convient est s = 8. Dans au moins 95 % des cas, on observe au plus 8 succès sur 30 ; c'est ce type de seuil qui sert à détecter une anomalie.