Exercices corrigés — Schéma de Bernoulli et loi binomiale (Terminale)

chaque tir est une épreuve de Bernoulli (succès « tir réussi », probabilité p = 0,7). Les 10 tirs sont identiques et indépendants : le nombre X de réussites suit la loi binomiale ℬ(10 ; 0,7).
P(X = 8) = C(10,8) × 0,7⁸ × 0,3². Le coefficient C(10,8) = C(10,2) = 45 compte les façons de placer les 8 réussites parmi les 10 tirs ; 0,7⁸ × 0,3² est la probabilité d'une suite précise de 8 réussites et 2 échecs.
0,7⁸ ≈ 0,05765 et 0,3² = 0,09, donc P(X = 8) ≈ 45 × 0,05765 × 0,09 ≈ 0,2335.
La probabilité d'exactement 8 réussites sur 10 est d'environ 0,23. C'est proche du maximum de la loi : l'espérance vaut 10 × 0,7 = 7, et les valeurs 7 et 8 sont les plus probables.

a) Chaque tir a deux issues, succès S (probabilité 0,8) ou échec E (probabilité 0,2) : c'est une épreuve de Bernoulli. Les trois tirs sont identiques et indépendants : X suit ℬ(3 ; 0,8).
b) L'arbre a trois niveaux et 2³ = 8 chemins. Les chemins comportant exactement 2 succès sont SSE, SES et ESS. Par indépendance, chacun a pour probabilité 0,8 × 0,8 × 0,2 = 0,128. Ces trois chemins sont disjoints : P(X = 2) = 3 × 0,128 = 0,384.
c) Formule : P(X = 2) = C(3,2) × 0,8² × 0,2¹ = 3 × 0,64 × 0,2 = 0,384. Le coefficient C(3,2) = 3 est exactement le nombre de chemins trouvés en b).
d) P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,384 + 0,8³ = 0,384 + 0,512 = 0,896. L'archer réussit au moins deux tirs sur trois dans près de 90 % des séries.

« au moins une réussite » est l'événement X ≥ 1. Le calculer directement obligerait à additionner P(X = 1), P(X = 2), …, P(X = 10). On passe par l'événement contraire, « aucune réussite », c'est-à-dire X = 0.
P(X = 0) = C(10,0) × 0,7⁰ × 0,3¹⁰ = 0,3¹⁰ ≈ 5,9 × 10⁻⁶ : c'est la probabilité d'échouer dix fois de suite.
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,3¹⁰ ≈ 0,999994.
Il est pratiquement certain que le joueur réussit au moins un tir sur dix. Ce passage au contraire est systématique pour « au moins un ».

a) Pour chaque question, répondre au hasard donne la bonne réponse avec probabilité 14 = 0,25 : épreuve de Bernoulli de paramètre 0,25. Les 20 réponses sont indépendantes et identiques, donc X suit ℬ(20 ; 0,25).
b) E(X) = np = 20 × 0,25 = 5. En répondant au hasard, un élève obtient en moyenne 5 bonnes réponses sur 20 ; c'est une moyenne sur un grand nombre de QCM, pas un résultat garanti.
c) P(X = 5) = C(20,5) × 0,25⁵ × 0,75¹⁵. Or C(20,5) = 15 504, 0,25⁵ ≈ 9,77 × 10⁻⁴ et 0,75¹⁵ ≈ 0,01336, d'où P(X = 5) ≈ 0,202. Obtenir exactement la moyenne attendue arrive une fois sur cinq environ.
d) Un score d'au moins 10 sur 20 en répondant au hasard a une probabilité d'environ 1,4 % : c'est un événement rare. Si un élève obtient 10 bonnes réponses ou plus, il est peu vraisemblable qu'il ait répondu au hasard ; on peut raisonnablement penser qu'il connaissait une partie des réponses. C'est le principe d'un raisonnement par seuil.

pour une loi binomiale ℬ(n ; p), E(X) = np, V(X) = np(1 − p) et σ(X) = √[np(1 − p)]. Ces formules s'obtiennent en écrivant X comme somme de 50 variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,2.
E(X) = 50 × 0,2 = 10 : sur un grand nombre de répétitions de l'expérience, on observe en moyenne 10 succès sur 50.
V(X) = 50 × 0,2 × 0,8 = 8, et σ(X) = √8 = 2√2 ≈ 2,83.
Interprétation : le nombre de succès s'écarte typiquement de 2 à 3 unités autour de 10. Des valeurs comme 4 ou 16, à plus de deux écarts types de la moyenne, sont peu probables.

a) L'événement X ≤ 4 est la réunion disjointe de X ≤ 3 et X = 4, donc P(X = 4) = P(X ≤ 4) − P(X ≤ 3) ≈ 0,5245 − 0,3217 = 0,2028. Vérification par la formule : C(30,4) × 0,15⁴ × 0,85²⁶ ≈ 0,2028.
b) X ≥ 5 est le contraire de X ≤ 4 : P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) ≈ 1 − 0,5245 = 0,4755.
c) P(4 ≤ X ≤ 8) = P(X ≤ 8) − P(X ≤ 3) ≈ 0,9722 − 0,3217 = 0,6505. Attention à retirer P(X ≤ 3) et non P(X ≤ 4), pour conserver la valeur 4.
d) P(X ≤ 7) ≈ 0,9302 < 0,95 et P(X ≤ 8) ≈ 0,9722 ≥ 0,95 : le plus petit entier qui convient est s = 8. Dans au moins 95 % des cas, on observe au plus 8 succès sur 30 ; c'est ce type de seuil qui sert à détecter une anomalie.

soit n le nombre de graines plantées et X le nombre de graines qui germent : X suit ℬ(n ; 0,1). L'événement « au moins une germe » est X ≥ 1, de probabilité P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,9ⁿ.
On cherche le plus petit n tel que 1 − 0,9ⁿ ≥ 0,99, c'est-à-dire 0,9ⁿ ≤ 0,01.
La fonction ln est strictement croissante : n ln 0,9 ≤ ln 0,01. Comme ln 0,9 < 0, diviser par ce nombre change le sens de l'inégalité : n ≥ ln 0,01ln 0,9 ≈ −4,605−0,1054 ≈ 43,7.
Il faut planter au moins 44 graines. Vérification : 0,9⁴³ ≈ 0,0108 > 0,01 (43 graines ne suffisent pas) et 0,9⁴⁴ ≈ 0,0097 ≤ 0,01. Avec 44 graines, la probabilité qu'au moins une germe dépasse 99 %.

un schéma de Bernoulli exige la répétition d'épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant la même probabilité de succès.
Ici, chaque tirage a bien deux issues, « rouge » (succès) et « bleue » (échec), mais les tirages se font sans remise : la composition de l'urne change à chaque fois. Au premier tirage, la probabilité d'obtenir rouge est 410 = 0,4 ; si une rouge est sortie, elle devient 39 au deuxième tirage ; si une bleue est sortie, elle devient 49. Les épreuves ne sont donc ni identiques ni indépendantes.
Le nombre de boules rouges obtenues ne suit pas une loi binomiale ; on calcule ses probabilités avec un arbre pondéré dont les branches changent à chaque niveau.
Avec remise (on replace la boule et on mélange avant chaque tirage), la probabilité reste 0,4 à chaque tirage et les tirages sont indépendants : le nombre de rouges suit alors ℬ(5 ; 0,4). Quand la population est très grande devant le nombre de tirages, le modèle binomial reste une bonne approximation même sans remise.