Exercices corrigés — Schéma de Bernoulli et loi binomiale (Terminale)

chaque tir est une épreuve de Bernoulli (succès « tir réussi », probabilité p = 0,7). Les 10 tirs sont identiques et indépendants : le nombre X de réussites suit la loi binomiale ℬ(10 ; 0,7).
P(X = 8) = C(10,8) × 0,7⁸ × 0,3². Le coefficient C(10,8) = C(10,2) = 45 compte les façons de placer les 8 réussites parmi les 10 tirs ; 0,7⁸ × 0,3² est la probabilité d'une suite précise de 8 réussites et 2 échecs.
0,7⁸ ≈ 0,05765 et 0,3² = 0,09, donc P(X = 8) ≈ 45 × 0,05765 × 0,09 ≈ 0,2335.
La probabilité d'exactement 8 réussites sur 10 est d'environ 0,23. C'est proche du maximum de la loi : l'espérance vaut 10 × 0,7 = 7, et les valeurs 7 et 8 sont les plus probables.

a) Chaque tir a deux issues, succès S (probabilité 0,8) ou échec E (probabilité 0,2) : c'est une épreuve de Bernoulli. Les trois tirs sont identiques et indépendants : X suit ℬ(3 ; 0,8).
b) L'arbre a trois niveaux et 2³ = 8 chemins. Les chemins comportant exactement 2 succès sont SSE, SES et ESS. Par indépendance, chacun a pour probabilité 0,8 × 0,8 × 0,2 = 0,128. Ces trois chemins sont disjoints : P(X = 2) = 3 × 0,128 = 0,384.
c) Formule : P(X = 2) = C(3,2) × 0,8² × 0,2¹ = 3 × 0,64 × 0,2 = 0,384. Le coefficient C(3,2) = 3 est exactement le nombre de chemins trouvés en b).
d) P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,384 + 0,8³ = 0,384 + 0,512 = 0,896. L'archer réussit au moins deux tirs sur trois dans près de 90 % des séries.