Exercices corrigés — Schéma de Bernoulli et loi binomiale (Terminale)

« au moins une réussite » est l'événement X ≥ 1. Le calculer directement obligerait à additionner P(X = 1), P(X = 2), …, P(X = 10). On passe par l'événement contraire, « aucune réussite », c'est-à-dire X = 0.
P(X = 0) = C(10,0) × 0,7⁰ × 0,3¹⁰ = 0,3¹⁰ ≈ 5,9 × 10⁻⁶ : c'est la probabilité d'échouer dix fois de suite.
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,3¹⁰ ≈ 0,999994.
Il est pratiquement certain que le joueur réussit au moins un tir sur dix. Ce passage au contraire est systématique pour « au moins un ».

a) Pour chaque question, répondre au hasard donne la bonne réponse avec probabilité 14 = 0,25 : épreuve de Bernoulli de paramètre 0,25. Les 20 réponses sont indépendantes et identiques, donc X suit ℬ(20 ; 0,25).
b) E(X) = np = 20 × 0,25 = 5. En répondant au hasard, un élève obtient en moyenne 5 bonnes réponses sur 20 ; c'est une moyenne sur un grand nombre de QCM, pas un résultat garanti.
c) P(X = 5) = C(20,5) × 0,25⁵ × 0,75¹⁵. Or C(20,5) = 15 504, 0,25⁵ ≈ 9,77 × 10⁻⁴ et 0,75¹⁵ ≈ 0,01336, d'où P(X = 5) ≈ 0,202. Obtenir exactement la moyenne attendue arrive une fois sur cinq environ.
d) Un score d'au moins 10 sur 20 en répondant au hasard a une probabilité d'environ 1,4 % : c'est un événement rare. Si un élève obtient 10 bonnes réponses ou plus, il est peu vraisemblable qu'il ait répondu au hasard ; on peut raisonnablement penser qu'il connaissait une partie des réponses. C'est le principe d'un raisonnement par seuil.