Schéma de Bernoulli et loi binomiale — cours de Terminale
Épreuve de Bernoulli, Indépendance et schéma de Bernoulli, Loi binomiale, Probabilités cumulées Lecture ≈ 4 min.
1. Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne possédant que deux issues : le succès, de probabilité p, et l'échec, de probabilité 1 − p. La variable de Bernoulli X vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec.
Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée ℬ(p), alors :
E(X) = p ; V(X) = p(1 − p) ; σ(X) = √[p(1 − p)].
E(X) = 0 × (1 − p) + 1 × p = p. Comme X2 = X, E(X2) = p. Donc V(X) = E(X2) − E(X)2 = p − p2 = p(1 − p).
2. Indépendance et schéma de Bernoulli
Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A)P(B). Cette définition vaut aussi si l'une des probabilités est nulle. Des épreuves sont indépendantes lorsque le résultat de chacune ne modifie pas les probabilités des autres.
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune de probabilité de succès p, constitue un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
On tire une carte, on note si c'est un as, puis on la remet et on mélange. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de paramètre 432 = 18 ; les remises rendent les tirages indépendants. Sans remise, la probabilité change après chaque tirage : ce n'est plus un schéma de Bernoulli à paramètre constant.
3. Loi binomiale
Dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, la variable X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée ℬ(n,p).
Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n :
P(X = k) = C(n,k) pk(1 − p)n−k.
Une suite précise comportant k succès et n − k échecs a, par indépendance, la probabilité pk(1 − p)n−k. Les k positions des succès peuvent être choisies de C(n,k) façons. Ces événements sont disjoints ; on additionne leurs probabilités.
Si X suit ℬ(n,p), alors :
E(X) = np ; V(X) = np(1 − p) ; σ(X) = √[np(1 − p)].
Écrivons X = X1 + … + Xn, où Xi vaut 1 si la i-ème épreuve réussit, 0 sinon. Par linéarité, E(X) = n p. Les variables étant indépendantes, les variances s'additionnent : V(X) = n p(1 − p).
4. Probabilités cumulées
- « exactement k » : P(X = k) ;
- « au plus k » : P(X ≤ k) ;
- « moins de k » : P(X ≤ k − 1) ;
- « au moins k » : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) ;
- « plus de k » : P(X ≥ k + 1) = 1 − P(X ≤ k).
Une pièce truquée donne pile avec probabilité 0,4. On la lance 8 fois indépendamment. Soit X le nombre de piles.
- X suit ℬ(8 ; 0,4).
- P(X = 3) = C(8,3)0,430,65 ≈ 0,2787.
- P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,68 ≈ 0,9832.
- E(X) = 8 × 0,4 = 3,2 : sur un grand nombre de séries, le nombre moyen de piles par série est 3,2.
5. Utilisation d'un outil numérique
from math import comb
def proba_binomiale(n, p, k):
return comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k)
def cumul_binomial(n, p, k):
return sum(proba_binomiale(n, p, i) for i in range(k+1))Pour une calculatrice, identifier si la commande demandée calcule P(X = k) ou P(X ≤ k). Toujours écrire avant le calcul la probabilité mathématique recherchée.
6. Seuil et prise de décision
Une machine produit une pièce conforme avec probabilité 0,98. On contrôle 100 pièces indépendantes et on note X le nombre de non-conformes. Alors X suit ℬ(100 ; 0,02). On cherche le plus petit entier s tel que P(X ≤ s) ≥ 0,95. Un cumul numérique donne P(X ≤ 4) ≈ 0,9492 et P(X ≤ 5) ≈ 0,9845. Le seuil minimal est 5.
- Utiliser une loi binomiale sans justifier répétition, identité et indépendance.
- Confondre pk(1 − p)n−k, probabilité d'un ordre précis, avec la probabilité de k succès, qui comporte C(n,k).
- Traduire « au moins k » par X > k au lieu de X ≥ k.
- Interpréter l'espérance 3,2 comme une valeur nécessairement observable lors d'une série.