Exercices corrigés — Schéma de Bernoulli et loi binomiale (Terminale)

soit n le nombre de graines plantées et X le nombre de graines qui germent : X suit ℬ(n ; 0,1). L'événement « au moins une germe » est X ≥ 1, de probabilité P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,9ⁿ.
On cherche le plus petit n tel que 1 − 0,9ⁿ ≥ 0,99, c'est-à-dire 0,9ⁿ ≤ 0,01.
La fonction ln est strictement croissante : n ln 0,9 ≤ ln 0,01. Comme ln 0,9 < 0, diviser par ce nombre change le sens de l'inégalité : n ≥ ln 0,01ln 0,9 ≈ −4,605−0,1054 ≈ 43,7.
Il faut planter au moins 44 graines. Vérification : 0,9⁴³ ≈ 0,0108 > 0,01 (43 graines ne suffisent pas) et 0,9⁴⁴ ≈ 0,0097 ≤ 0,01. Avec 44 graines, la probabilité qu'au moins une germe dépasse 99 %.

un schéma de Bernoulli exige la répétition d'épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant la même probabilité de succès.
Ici, chaque tirage a bien deux issues, « rouge » (succès) et « bleue » (échec), mais les tirages se font sans remise : la composition de l'urne change à chaque fois. Au premier tirage, la probabilité d'obtenir rouge est 410 = 0,4 ; si une rouge est sortie, elle devient 39 au deuxième tirage ; si une bleue est sortie, elle devient 49. Les épreuves ne sont donc ni identiques ni indépendantes.
Le nombre de boules rouges obtenues ne suit pas une loi binomiale ; on calcule ses probabilités avec un arbre pondéré dont les branches changent à chaque niveau.
Avec remise (on replace la boule et on mélange avant chaque tirage), la probabilité reste 0,4 à chaque tirage et les tirages sont indépendants : le nombre de rouges suit alors ℬ(5 ; 0,4). Quand la population est très grande devant le nombre de tirages, le modèle binomial reste une bonne approximation même sans remise.