Terminale · Fiche de révision

Schéma de Bernoulli et loi binomiale — fiche résumé

L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 6 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.

À retenir

1. Épreuve de Bernoulli

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne possédant que deux issues : le succès, de probabilité p, et l'échec, de probabilité 1 − p. La variable de Bernoulli X vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec.

Paramètres

Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée ℬ(p), alors :

E(X) = p ; V(X) = p(1 − p) ; σ(X) = √[p(1 − p)].

2. Indépendance et schéma de Bernoulli

Indépendance

Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A)P(B). Cette définition vaut aussi si l'une des probabilités est nulle. Des épreuves sont indépendantes lorsque le résultat de chacune ne modifie pas les probabilités des autres.

Schéma de Bernoulli

La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune de probabilité de succès p, constitue un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.

3. Loi binomiale

Définition

Dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, la variable X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée ℬ(n,p).

Probabilités ponctuelles

Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n :

P(X = k) = C(n,k) p^k(1 − p)^n−k.

Espérance, variance, écart type

Si X suit ℬ(n,p), alors :

E(X) = np ; V(X) = np(1 − p) ; σ(X) = √[np(1 − p)].

Les méthodes

Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.

Méthode 1Démonstration

E(X) = 0 × (1 − p) + 1 × p = p. Comme X² = X, E(X²) = p. Donc V(X) = E(X²) − E(X)² = p − p² = p(1 − p).

Méthode 2Démonstration de la formule

Une suite précise comportant k succès et n − k échecs a, par indépendance, la probabilité p^k(1 − p)^n−k. Les k positions des succès peuvent être choisies de C(n,k) façons. Ces événements sont disjoints ; on additionne leurs probabilités.

Méthode 3Pourquoi ces paramètres ?

Écrivons X = X₁ + … + X_n, où X_i vaut 1 si la i-ème épreuve réussit, 0 sinon. Par linéarité, E(X) = n p. Les variables étant indépendantes, les variances s'additionnent : V(X) = n p(1 − p).

Méthode 4Traduire le français

« exactement k » : P(X = k) ;
« au plus k » : P(X ≤ k) ;
« moins de k » : P(X ≤ k − 1) ;
« au moins k » : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) ;
« plus de k » : P(X ≥ k + 1) = 1 − P(X ≤ k).

Méthode 5Calcul direct en Python

from math import comb

def proba_binomiale(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k)

def cumul_binomial(n, p, k):
    return sum(proba_binomiale(n, p, i) for i in range(k+1))

Pour une calculatrice, identifier si la commande demandée calcule P(X = k) ou P(X ≤ k). Toujours écrire avant le calcul la probabilité mathématique recherchée.

Méthode 6Erreurs fréquentes

Utiliser une loi binomiale sans justifier répétition, identité et indépendance.
Confondre p^k(1 − p)^n−k, probabilité d'un ordre précis, avec la probabilité de k succès, qui comporte C(n,k).
Traduire « au moins k » par X > k au lieu de X ≥ k.
Interpréter l'espérance 3,2 comme une valeur nécessairement observable lors d'une série.

Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés