Exercices corrigés — Limites de suites (Terminale)

la forme est ∞ × 0, indéterminée : n² → +∞ tandis que 0,7ⁿ → 0.
On écrit u_n = n²1/0,7ⁿ = n²aⁿ avec a = 10,7 = 107 ≈ 1,43 > 1.
Le théorème des croissances comparées affirme que, pour a > 1 et tout entier p ≥ 1, n^p/aⁿ → 0 : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de n. Ici p = 2, donc u_n → 0.
Illustration numérique : u₁₀ = 100 × 0,7¹⁰ ≈ 2,8 ; u₅₀ = 2 500 × 0,7⁵⁰ ≈ 4,5 × 10⁻⁵. La décroissance vers 0 est lente au début, puis très rapide.

a) S_n est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison q = 12 : S_n = 1 − qⁿ⁺¹1 − q = (1 − (12)ⁿ⁺¹)/(12) = 2(1 − (12)ⁿ⁺¹) = 2 − (12)ⁿ.
Vérification : S₂ = 1 + 12 + 14 = 74, et 2 − 14 = 74.
b) Comme −1 < 12 < 1, (12)ⁿ → 0, donc S_n → 2. La somme infinie 1 + 12 + 14 + … « vaut » 2 : chaque terme comble la moitié de ce qui manque pour atteindre 2, et S_n < 2 pour tout n.