Limites de suites — cours de Terminale

Convergence vers une limite finie, Limites infinies, Limites usuelles et suites géométriques, Opérations sur les limites Lecture ≈ 5 min.

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1. Convergence vers une limite finie

Définition intuitive et quantifiée

La suite (u_n) converge vers le réel ℓ si ses termes peuvent être rendus aussi proches que l'on veut de ℓ à partir d'un certain rang. On note lim_n→∞ u_n = ℓ. Précisément : pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N, |u_n − ℓ| < ε.

Unicité

Une suite convergente possède une unique limite. Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse : (−1)ⁿ est bornée mais n'a pas de limite.

Preuve de l'unicité

Si une suite avait deux limites distinctes ℓ et ℓ', prenons ε = |ℓ − ℓ'|/3. À partir d'un certain rang, un même terme serait à une distance inférieure à ε de chacune. L'inégalité triangulaire donnerait |ℓ − ℓ'| < 2ε = 2|ℓ − ℓ'|/3, contradiction.

2. Limites infinies

Définitions

u_n tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes sont supérieurs à A à partir d'un certain rang. Elle tend vers −∞ si, pour tout réel A, tous les termes deviennent inférieurs à A.

Exemple quantifié

Pour u_n = 3n − 7 et un seuil A, l'inégalité 3n − 7 > A équivaut à n > A + 73. Il suffit de choisir un entier N strictement supérieur à ce réel. Ainsi u_n → +∞.

3. Limites usuelles et suites géométriques

Résultats à connaître

1n^p → 0 pour tout entier p ≥ 1 ; n^p → +∞.
Si −1 < q < 1, alors qⁿ → 0.
Si q > 1, alors qⁿ → +∞.
Si q ≤ −1, (qⁿ) n'a pas de limite : les signes alternent. Pour q = −1, la suite prend alternativement les valeurs 1 et −1 ; pour q < −1, les valeurs alternent en oscillant d'amplitude de plus en plus grande.

MéthodeDémonstration pour 0 < q < 1

Posons a = 1q − 1 > 0, donc 1q = 1 + a. L'inégalité de Bernoulli donne (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na. Ainsi 0 < qⁿ ≤ 11 + na, dont le membre de droite tend vers 0. Le théorème des gendarmes conclut. Pour −1 < q < 0, appliquer le résultat à |q| puis utiliser |qⁿ| = |q|ⁿ.

4. Opérations sur les limites

Règles

Les limites de sommes, produits et quotients suivent les règles algébriques usuelles lorsque l'expression obtenue a un sens. En particulier, si u_n → ℓ et v_n → ℓ', alors :

u_n + v_n → ℓ + ℓ' ;
u_nv_n → ℓℓ' ;
u_n/v_n → ℓℓ' si ℓ' ≠ 0.

Les formes +∞ − ∞, 0 × ∞, ∞∞ et 00 sont indéterminées : aucune règle automatique ne s'applique.

Lever une indétermination

Pour un quotient de polynômes, factoriser par la plus grande puissance de n.
Pour une différence de racines, multiplier par l'expression conjuguée.
Pour des puissances/exponentielles, comparer les vitesses de croissance.

Exemple 1

u_n = 3n² − n + 12n² + 5. En divisant numérateur et dénominateur par n² :

u_n = (3 − 1n + 1n²)/(2 + 5n²) → 32.

Exemple 2

v_n = √n² + n − n. La forme est ∞ − ∞. Avec le conjugué :

v_n = [(n² + n) − n²]/[√n² + n + n]
= n/[n√1 + 1n + n] = 1/[√1 + 1n + 1] → 12.

5. Comparaison et encadrement

Théorèmes

Si u_n ≤ v_n à partir d'un certain rang et u_n → +∞, alors v_n → +∞.
Si u_n ≤ v_n et v_n → −∞, alors u_n → −∞.
Gendarmes : si u_n ≤ v_n ≤ w_n et si les suites extrêmes tendent vers la même limite ℓ, alors v_n → ℓ.

Exemple

Comme −1 ≤ sin(n) ≤ 1, on a |sin(n)n| ≤ 1n. Or 1n → 0. Donc sin(n)n → 0.

6. Convergence monotone

Théorème de convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.

De plus, une suite croissante non majorée tend vers +∞, et une suite décroissante non minorée tend vers −∞.

Suite récurrente : plan complet

Démontrer qu'un intervalle est stable, souvent par récurrence.
Démontrer la monotonie.
Appliquer le théorème de convergence monotone.
Si u_n+1 = f(u_n) et f est continue, passer à la limite : ℓ = f(ℓ).
Résoudre cette équation et retenir la solution compatible avec l'encadrement.

Résoudre ℓ = f(ℓ) ne prouve jamais à lui seul la convergence.

Exemple complet

Pour u₀ = 0 et u_n+1 = √3 + u_n, posons α = 1 + √132. Ce réel positif vérifie α² = 3 + α. Démontrons par récurrence la propriété P(n) : « 0 ≤ u_n ≤ α ».

Initialisation. u₀ = 0 et α > 0, donc 0 ≤ u₀ ≤ α. P(0) est donc vraie.

Hérédité. Soit k ∈ ℕ. On suppose P(k) vraie, c'est-à-dire 0 ≤ u_k ≤ α. Démontrons qu'elle est alors vraie au rang k + 1.
En ajoutant 3 : 3 ≤ 3 + u_k ≤ 3 + α. La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[, donc √3 ≤ u_k+1 ≤ √3 + α.
Or α² = 3 + α et α > 0, donc √3 + α = α. Comme √3 ≥ 0, on obtient 0 ≤ u_k+1 ≤ α : la propriété est vraie au rang k + 1.

Conclusion. P(0) est vraie et P se transmet d'un rang au suivant. Le principe de récurrence donne alors, pour tout n ∈ ℕ : 0 ≤ u_n ≤ α.

Notons β = 1 − √132 < 0. Puisque les termes sont positifs :

u_n+1² − u_n² = 3 + u_n − u_n² = (α − u_n)(u_n − β) ≥ 0.

Ainsi u_n+1 ≥ u_n. La suite est croissante et majorée par α, donc convergente. Sa limite vérifie ℓ = √3 + ℓ, soit ℓ² − ℓ − 3 = 0. Comme ℓ ≥ 0, ℓ = α = 1 + √132.

7. Croissances comparées

Résultats

Pour a > 1 et tout entier p ≥ 1 :

n^p/aⁿ → 0 et aⁿ/n^p → +∞.

La croissance exponentielle d'une suite géométrique de raison a > 1 domine toute puissance de n.

Erreurs fréquentes

Écrire « ∞ − ∞ = 0 » ou « ∞∞ = 1 » : ce sont des formes indéterminées.
Déduire qu'une suite bornée converge.
Passer à la limite dans une relation de récurrence avant d'avoir établi la convergence.
Oublier qu'une suite géométrique de raison négative inférieure ou égale à −1 oscille.

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