Limites de suites — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 8 points à retenir et 5 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Convergence vers une limite finie
Définition intuitive et quantifiée
La suite (un) converge vers le réel ℓ si ses termes peuvent être rendus aussi proches que l'on veut de ℓ à partir d'un certain rang. On note limn→∞ un = ℓ. Précisément : pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N, |un − ℓ| < ε.
Unicité
Une suite convergente possède une unique limite. Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse : (−1)n est bornée mais n'a pas de limite.
2. Limites infinies
Définitions
un tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes sont supérieurs à A à partir d'un certain rang. Elle tend vers −∞ si, pour tout réel A, tous les termes deviennent inférieurs à A.
3. Limites usuelles et suites géométriques
Résultats à connaître
- 1np → 0 pour tout entier p ≥ 1 ; np → +∞.
- Si −1 < q < 1, alors qn → 0.
- Si q > 1, alors qn → +∞.
- Si q ≤ −1, (qn) n'a pas de limite : les signes alternent. Pour q = −1, la suite prend alternativement les valeurs 1 et −1 ; pour q < −1, les valeurs alternent en oscillant d'amplitude de plus en plus grande.
4. Opérations sur les limites
Règles
Les limites de sommes, produits et quotients suivent les règles algébriques usuelles lorsque l'expression obtenue a un sens. En particulier, si un → ℓ et vn → ℓ', alors :
- un + vn → ℓ + ℓ' ;
- unvn → ℓℓ' ;
- un/vn → ℓℓ' si ℓ' ≠ 0.
Les formes +∞ − ∞, 0 × ∞, ∞∞ et 00 sont indéterminées : aucune règle automatique ne s'applique.
5. Comparaison et encadrement
Théorèmes
- Si un ≤ vn à partir d'un certain rang et un → +∞, alors vn → +∞.
- Si un ≤ vn et vn → −∞, alors un → −∞.
- Gendarmes : si un ≤ vn ≤ wn et si les suites extrêmes tendent vers la même limite ℓ, alors vn → ℓ.
6. Convergence monotone
Théorème de convergence monotone
- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
De plus, une suite croissante non majorée tend vers +∞, et une suite décroissante non minorée tend vers −∞.
7. Croissances comparées
Résultats
Pour a > 1 et tout entier p ≥ 1 :
np/an → 0 et an/np → +∞.
La croissance exponentielle d'une suite géométrique de raison a > 1 domine toute puissance de n.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Preuve de l'unicité
Si une suite avait deux limites distinctes ℓ et ℓ', prenons ε = |ℓ − ℓ'|/3. À partir d'un certain rang, un même terme serait à une distance inférieure à ε de chacune. L'inégalité triangulaire donnerait |ℓ − ℓ'| < 2ε = 2|ℓ − ℓ'|/3, contradiction.
Méthode 2
Posons a = 1q − 1 > 0, donc 1q = 1 + a. L'inégalité de Bernoulli donne (1 + a)n ≥ 1 + na. Ainsi 0 < qn ≤ 11 + na, dont le membre de droite tend vers 0. Le théorème des gendarmes conclut. Pour −1 < q < 0, appliquer le résultat à |q| puis utiliser |qn| = |q|n.
Méthode 3Lever une indétermination
- Pour un quotient de polynômes, factoriser par la plus grande puissance de n.
- Pour une différence de racines, multiplier par l'expression conjuguée.
- Pour des puissances/exponentielles, comparer les vitesses de croissance.
Méthode 4Suite récurrente : plan complet
- Démontrer qu'un intervalle est stable, souvent par récurrence.
- Démontrer la monotonie.
- Appliquer le théorème de convergence monotone.
- Si un+1 = f(un) et f est continue, passer à la limite : ℓ = f(ℓ).
- Résoudre cette équation et retenir la solution compatible avec l'encadrement.
Résoudre ℓ = f(ℓ) ne prouve jamais à lui seul la convergence.
Méthode 5Erreurs fréquentes
- Écrire « ∞ − ∞ = 0 » ou « ∞∞ = 1 » : ce sont des formes indéterminées.
- Déduire qu'une suite bornée converge.
- Passer à la limite dans une relation de récurrence avant d'avoir établi la convergence.
- Oublier qu'une suite géométrique de raison négative inférieure ou égale à −1 oscille.
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