Exercices corrigés — Limites de suites (Terminale)

a) La suite (u_n) est croissante et majorée par 3. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel ℓ, et ℓ ≤ 3 par passage à la limite dans l'inégalité u_n ≤ 3. Comme u₀ = 0 et que la suite est croissante, ℓ ≥ 0.
b) La fonction f : x ↦ √6 + x est continue sur [0 ; +∞[ et u_n+1 = f(u_n). Puisque u_n → ℓ, on a f(u_n) → f(ℓ) ; or u_n+1 → ℓ aussi. Par unicité de la limite, ℓ = f(ℓ) = √6 + ℓ.
Comme ℓ ≥ 0, on peut élever au carré : ℓ² = 6 + ℓ, soit ℓ² − ℓ − 6 = 0. Le discriminant vaut 1 + 24 = 25 ; les racines sont 1 − 52 = −2 et 1 + 52 = 3. La valeur −2 est exclue car ℓ ≥ 0.
La suite converge vers 3. L'ordre des étapes est essentiel : la convergence est établie en a) avant de résoudre l'équation en b) ; résoudre ℓ = f(ℓ) seul ne prouve rien.

la suite est croissante et majorée par 4 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel ℓ, et ℓ ≤ 4 (passage à la limite dans l'inégalité u_n ≤ 4).
Une sous-suite (u_φ(n)) est formée de termes extraits de la suite, dans l'ordre, avec φ(n) ≥ n. Si u_n → ℓ, tout terme d'indice assez grand est aussi proche que voulu de ℓ ; les termes extraits, d'indices φ(n) ≥ n, le sont donc aussi : la sous-suite converge vers ℓ.
Or, par hypothèse, elle converge vers 4. Par unicité de la limite, ℓ = 4.
Conclusion : la suite converge vers 4. Sans l'hypothèse de croissance, on ne pourrait rien dire : la suite 0, 4, 0, 4, … est majorée par 4 et possède une sous-suite convergeant vers 4, mais elle ne converge pas.