Exercices corrigés — Limites de suites (Terminale)

a) 1n² → 0, donc 3n² → 0 et u_n → 5 (limite d'une somme).
b) La forme est ∞ − ∞, indéterminée. On factorise par le terme dominant : v_n = 2ⁿ(1 − n2ⁿ). Par croissances comparées, n2ⁿ → 0, donc la parenthèse tend vers 1 ; et 2ⁿ → +∞ car 2 > 1. Par produit, v_n → +∞.
c) −1 < −0,5 < 1, donc (−0,5)ⁿ → 0 : les signes alternent, mais les valeurs absolues 0,5ⁿ tendent vers 0. Ainsi w_n → 1.
d) 1,2 > 1, donc 1,2ⁿ → +∞, et t_n = 3 × 1,2ⁿ → +∞.

la forme est ∞∞, indéterminée. On factorise le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de n, ici n³ :
5n³ − 2n4n³ + n² + 1 = n³(5 − 2n²) / [n³(4 + 1n + 1n³)] = (5 − 2n²)/(4 + 1n + 1n³).
Or 2n² → 0, 1n → 0 et 1n³ → 0. Par somme, le numérateur tend vers 5 et le dénominateur vers 4 ≠ 0. Par quotient, la limite est 54.
Règle pratique retrouvée : le quotient de deux polynômes de même degré tend vers le quotient de leurs coefficients dominants.