Exercices corrigés — Limites de suites (Terminale)

les deux formes sont ∞∞. On factorise chaque terme par sa plus grande puissance de n.
u_n = n(2 + 1n) / [n²(1 + 3n²)] = (1n) × (2 + 1n)/(1 + 3n²). Le second facteur tend vers 21 = 2 et 1n → 0 : par produit, u_n → 0. Le degré du dénominateur l'emporte.
v_n = n²(1 − 4n) / [n(3 + 1n)] = n × (1 − 4n)/(3 + 1n). Le second facteur tend vers 13 > 0 et n → +∞ : par produit, v_n → +∞. Le degré du numérateur l'emporte.
Remarque : 1 − 4n est négatif pour n < 4, mais seul le comportement pour n grand compte pour la limite.

a) Pour tout n, −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1. En ajoutant 2n puis en divisant par n > 0 : 2n − 1n ≤ u_n ≤ 2n + 1n, soit 2 − 1n ≤ u_n ≤ 2 + 1n.
b) 1n → 0, donc les deux suites 2 − 1n et 2 + 1n tendent vers 2. D'après le théorème des gendarmes, u_n → 2.
Remarque : u_n = 2 + (−1)ⁿ/n, et l'on peut aussi conclure avec |u_n − 2| = 1n → 0. La suite oscille autour de 2 en s'en rapprochant, sans être monotone : converger n'exige pas la monotonie.