Exercices corrigés — Limites de suites (Terminale)

a) 1n² → 0, donc 3n² → 0 et u_n → 5 (limite d'une somme).
b) La forme est ∞ − ∞, indéterminée. On factorise par le terme dominant : v_n = 2ⁿ(1 − n2ⁿ). Par croissances comparées, n2ⁿ → 0, donc la parenthèse tend vers 1 ; et 2ⁿ → +∞ car 2 > 1. Par produit, v_n → +∞.
c) −1 < −0,5 < 1, donc (−0,5)ⁿ → 0 : les signes alternent, mais les valeurs absolues 0,5ⁿ tendent vers 0. Ainsi w_n → 1.
d) 1,2 > 1, donc 1,2ⁿ → +∞, et t_n = 3 × 1,2ⁿ → +∞.

la forme est ∞∞, indéterminée. On factorise le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de n, ici n³ :
5n³ − 2n4n³ + n² + 1 = n³(5 − 2n²) / [n³(4 + 1n + 1n³)] = (5 − 2n²)/(4 + 1n + 1n³).
Or 2n² → 0, 1n → 0 et 1n³ → 0. Par somme, le numérateur tend vers 5 et le dénominateur vers 4 ≠ 0. Par quotient, la limite est 54.
Règle pratique retrouvée : le quotient de deux polynômes de même degré tend vers le quotient de leurs coefficients dominants.

les deux formes sont ∞∞. On factorise chaque terme par sa plus grande puissance de n.
u_n = n(2 + 1n) / [n²(1 + 3n²)] = (1n) × (2 + 1n)/(1 + 3n²). Le second facteur tend vers 21 = 2 et 1n → 0 : par produit, u_n → 0. Le degré du dénominateur l'emporte.
v_n = n²(1 − 4n) / [n(3 + 1n)] = n × (1 − 4n)/(3 + 1n). Le second facteur tend vers 13 > 0 et n → +∞ : par produit, v_n → +∞. Le degré du numérateur l'emporte.
Remarque : 1 − 4n est négatif pour n < 4, mais seul le comportement pour n grand compte pour la limite.

a) Pour tout n, −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1. En ajoutant 2n puis en divisant par n > 0 : 2n − 1n ≤ u_n ≤ 2n + 1n, soit 2 − 1n ≤ u_n ≤ 2 + 1n.
b) 1n → 0, donc les deux suites 2 − 1n et 2 + 1n tendent vers 2. D'après le théorème des gendarmes, u_n → 2.
Remarque : u_n = 2 + (−1)ⁿ/n, et l'on peut aussi conclure avec |u_n − 2| = 1n → 0. La suite oscille autour de 2 en s'en rapprochant, sans être monotone : converger n'exige pas la monotonie.

la forme est ∞ × 0, indéterminée : n² → +∞ tandis que 0,7ⁿ → 0.
On écrit u_n = n²1/0,7ⁿ = n²aⁿ avec a = 10,7 = 107 ≈ 1,43 > 1.
Le théorème des croissances comparées affirme que, pour a > 1 et tout entier p ≥ 1, n^p/aⁿ → 0 : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de n. Ici p = 2, donc u_n → 0.
Illustration numérique : u₁₀ = 100 × 0,7¹⁰ ≈ 2,8 ; u₅₀ = 2 500 × 0,7⁵⁰ ≈ 4,5 × 10⁻⁵. La décroissance vers 0 est lente au début, puis très rapide.

a) S_n est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison q = 12 : S_n = 1 − qⁿ⁺¹1 − q = (1 − (12)ⁿ⁺¹)/(12) = 2(1 − (12)ⁿ⁺¹) = 2 − (12)ⁿ.
Vérification : S₂ = 1 + 12 + 14 = 74, et 2 − 14 = 74.
b) Comme −1 < 12 < 1, (12)ⁿ → 0, donc S_n → 2. La somme infinie 1 + 12 + 14 + … « vaut » 2 : chaque terme comble la moitié de ce qui manque pour atteindre 2, et S_n < 2 pour tout n.

a) La suite (u_n) est croissante et majorée par 3. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel ℓ, et ℓ ≤ 3 par passage à la limite dans l'inégalité u_n ≤ 3. Comme u₀ = 0 et que la suite est croissante, ℓ ≥ 0.
b) La fonction f : x ↦ √6 + x est continue sur [0 ; +∞[ et u_n+1 = f(u_n). Puisque u_n → ℓ, on a f(u_n) → f(ℓ) ; or u_n+1 → ℓ aussi. Par unicité de la limite, ℓ = f(ℓ) = √6 + ℓ.
Comme ℓ ≥ 0, on peut élever au carré : ℓ² = 6 + ℓ, soit ℓ² − ℓ − 6 = 0. Le discriminant vaut 1 + 24 = 25 ; les racines sont 1 − 52 = −2 et 1 + 52 = 3. La valeur −2 est exclue car ℓ ≥ 0.
La suite converge vers 3. L'ordre des étapes est essentiel : la convergence est établie en a) avant de résoudre l'équation en b) ; résoudre ℓ = f(ℓ) seul ne prouve rien.

la suite est croissante et majorée par 4 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel ℓ, et ℓ ≤ 4 (passage à la limite dans l'inégalité u_n ≤ 4).
Une sous-suite (u_φ(n)) est formée de termes extraits de la suite, dans l'ordre, avec φ(n) ≥ n. Si u_n → ℓ, tout terme d'indice assez grand est aussi proche que voulu de ℓ ; les termes extraits, d'indices φ(n) ≥ n, le sont donc aussi : la sous-suite converge vers ℓ.
Or, par hypothèse, elle converge vers 4. Par unicité de la limite, ℓ = 4.
Conclusion : la suite converge vers 4. Sans l'hypothèse de croissance, on ne pourrait rien dire : la suite 0, 4, 0, 4, … est majorée par 4 et possède une sous-suite convergeant vers 4, mais elle ne converge pas.