Exercices corrigés — Fonctions trigonométriques (Terminale)

a) h(−x) = sin(−x) cos(−x) = (−sin x)(cos x) = −h(x) : h est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. h(x + π) = sin(x + π) cos(x + π) = (−sin x)(−cos x) = h(x) : h est périodique de période π.
b) La formule d'addition sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b avec a = b = x donne sin(2x) = 2 sin x cos x. Donc h(x) = (12) sin(2x).
c) Pour tout réel, sin(2x) ≤ 1, donc h(x) ≤ 12. L'égalité sin(2x) = 1 a lieu pour 2x = π2 + 2kπ, soit x = π4 + kπ, k ∈ ℤ.
Le maximum de h est 12, atteint en π4 et en tous les réels qui en diffèrent d'un multiple de π, ce qui est cohérent avec la période trouvée en a). De même, le minimum −12 est atteint en −π4 + kπ.

a) [cos(2x)]' = −2 sin(2x) et [2 cos x]' = −2 sin x, donc f'(x) = −2 sin(2x) − 2 sin x. Avec sin(2x) = 2 sin x cos x : f'(x) = −4 sin x cos x − 2 sin x = −2 sin x (2 cos x + 1).
b) Sur [0 ; π], sin x ≥ 0, nul seulement en 0 et en π : le facteur −2 sin x est négatif ou nul. Le signe de f' est donc l'opposé de celui de 2 cos x + 1. Or 2 cos x + 1 = 0 ⇔ cos x = −12 ⇔ x = 2π/3 sur [0 ; π] ; comme le cosinus est décroissant sur [0 ; π], 2 cos x + 1 > 0 pour x < 2π/3 et < 0 pour x > 2π/3.
Ainsi f' ≤ 0 sur [0 ; 2π/3] et f' ≥ 0 sur [2π/3 ; π] : f est décroissante sur [0 ; 2π/3] puis croissante sur [2π/3 ; π].
Valeurs : f(0) = 1 + 2 = 3 ; f(2π/3) = cos(4π/3) + 2 cos(2π/3) = −12 + 2 × (−12) = −32 ; f(π) = cos(2π) + 2 cos π = 1 − 2 = −1. Le minimum de f sur [0 ; π] est −32, atteint en 2π/3, et son maximum est 3, atteint en 0.