Exercices corrigés — Fonctions trigonométriques (Terminale)

en 0, le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 : forme 00. On fait apparaître la limite de référence sin(u)u → 1 quand u → 0.
Pour x ≠ 0 proche de 0 : sin(5x)sin(2x) = [sin(5x)5x] × [2x/sin(2x)] × 5x2x = [sin(5x)5x] × [1sin(2x)/(2x)] × 52.
Quand x → 0, 5x → 0 et 2x → 0, donc sin(5x)5x → 1 et sin(2x)2x → 1.
Par produit et quotient, la limite est 1 × 1 × 52 = 52. Retenir : au voisinage de 0, sin(ax) se comporte comme ax, d'où le rapport des coefficients 52.

en 0, 1 − cos(4x) → 0 et x² → 0 : forme 00. On utilise la limite de référence [1 − cos(u)]/u² → 12, qui découle de 1 − cos u = 2 sin²(u2) : [1 − cos u]/u² = (12)[sin(u2)/(u2)]² → 12.
Posons u = 4x, donc x = u4 et x² = u²16 ; quand x → 0, u → 0.
[1 − cos(4x)]/x² = [1 − cos u]/(u²16) = 16 × [1 − cos u]/u² → 16 × 12 = 8.
La limite est 8. Vérification numérique : pour x = 0,01, 1 − cos(0,04) ≈ 7,9989 × 10⁻⁴, et divisé par 10⁻⁴ cela donne environ 7,999.