Fonctions trigonométriques — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 9 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Cercle trigonométrique et radians
Radian
Sur le cercle trigonométrique de rayon 1, un angle de x radians intercepte un arc orienté dont la mesure algébrique est x ; sa longueur géométrique est |x|. Un tour vaut 2π radians, un angle plat π et un angle droit π2. La conversion est 180° = π radians.
Cosinus et sinus
Au réel x, on associe le point M du cercle trigonométrique obtenu après une rotation d'angle x. Son abscisse est cos(x) et son ordonnée sin(x).
Identités
- cos2(x) + sin2(x) = 1.
- cos(−x) = cos(x) ; sin(−x) = −sin(x).
- cos(x + 2π) = cos(x) ; sin(x + 2π) = sin(x).
- cos(x + π) = −cos(x) ; sin(x + π) = −sin(x).
2. Valeurs remarquables
| x | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 |
| sin x | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 |
3. Équations trigonométriques
Solutions générales
Pour tous réels x et a :
- cos(x) = cos(a) ⇔ x = 2kπ ± a, k ∈ ℤ ;
- sin(x) = sin(a) ⇔ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, k ∈ ℤ.
4. Dérivées et variations
Dérivées
(sin x)' = cos x ; (cos x)' = −sin x.
Par composition : [sin(u)]' = u'cos(u) et [cos(u)]' = −u'sin(u).
Variations sur une période
- Sur [0 ; 2π], sinus croît de 0 à 1 sur [0 ; π2], décroît de 1 à −1 sur [π2 ; 3π/2], puis croît de −1 à 0 sur [3π/2 ; 2π].
- Sur [0 ; 2π], cosinus décroît de 1 à −1 sur [0 ; π], puis croît de −1 à 1 sur [π ; 2π].
Les courbes se prolongent par périodicité de période 2π. La courbe du cosinus, fonction paire, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; celle du sinus, fonction impaire, est symétrique par rapport à l'origine. Elles ont la même forme décalée : cos(x) = sin(x + π2).
5. Formules d'addition utiles
Formules
- cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b ;
- cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b ;
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b ;
- sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b.
En particulier, cos(2x) = cos2x − sin2x = 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x.
6. Limites trigonométriques
Limite fondamentale
limx→0 sin(x)x = 1.
On en déduit limx→0 [1 − cos(x)]/x2 = 12, grâce à 1 − cos x = 2sin2(x2).
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Retrouver plutôt que réciter
Placer les angles du premier quadrant, puis utiliser les symétries du cercle et les signes dans chaque quadrant. L'identité cos2 + sin2 = 1 permet de retrouver une coordonnée à partir de l'autre, mais le signe dépend du quadrant.
Méthode 2Étudier une fonction périodique
- Trouver une période, généralement 2π ou une fraction de 2π.
- Étudier la fonction sur un intervalle d'une période.
- Utiliser éventuellement parité et symétries pour réduire l'étude.
- Prolonger le tableau ou le tracé par périodicité.
Méthode 3Résoudre une inéquation sur le cercle
Résolvons cos(x) ≤ 12 sur [−π ; π]. Les égalités cos(x) = 12 ont pour solutions −π3 et π3 dans cet intervalle. Sur le cercle, l'abscisse est inférieure ou égale à 12 en dehors de l'arc central compris entre ces deux angles. Ainsi :
x ∈ [−π ; −π3] ∪ [π3 ; π].
Un dessin du cercle et un contrôle avec x = 0, pour lequel cos 0 = 1, évitent d'inverser la zone solution.
Méthode 4Erreurs fréquentes
- Utiliser des degrés dans les dérivées et limites : ces formules supposent les radians.
- Oublier les familles de solutions ou le second angle pour une équation de sinus.
- Écrire (cos u)' = sin u : il manque le signe moins et le facteur u'.
- Déduire le signe du sinus ou du cosinus sans repérer le quadrant.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés