Exercices corrigés — Fonctions trigonométriques (Terminale)

on ramène chaque angle à un angle du premier quadrant grâce aux symétries du cercle trigonométrique.
cos(5π/6) : 5π/6 = π − π6, et cos(π − a) = −cos a, donc cos(5π/6) = −cos(π6) = −√32. Le point associé est dans le deuxième quadrant, où l'abscisse est négative.
sin(−π4) : le sinus est impair, sin(−a) = −sin a, donc sin(−π4) = −sin(π4) = −√22.
cos(7π/3) : 7π/3 = π3 + 2π, et le cosinus est périodique de période 2π, donc cos(7π/3) = cos(π3) = 12.
sin(3π/2) : le point associé à 3π/2 est le point (0 ; −1) du cercle, donc sin(3π/2) = −1 (et cos(3π/2) = 0).

on reconnaît une valeur remarquable : √32 = sin(π3). L'équation s'écrit sin(x) = sin(π3).
Dans ℤ, les solutions sont de deux familles : x = π3 + 2kπ ou x = π − π3 + 2kπ = 2π/3 + 2kπ, avec k ∈ ℤ. Sur le cercle, ce sont les deux points d'ordonnée √32, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Dans [−π ; π] : pour k = 0, on obtient π3 et 2π/3, qui conviennent ; pour k = 1 ou k = −1, les valeurs π3 ± 2π et 2π/3 ± 2π sortent de l'intervalle.
Solutions : {π3 ; 2π/3}. Oublier la seconde famille π − a est l'erreur la plus fréquente pour une équation en sinus.