Fonctions trigonométriques — cours de Terminale
Cercle trigonométrique et radians, Valeurs remarquables, Équations trigonométriques, Dérivées et variations Lecture ≈ 4 min.
1. Cercle trigonométrique et radians
Sur le cercle trigonométrique de rayon 1, un angle de x radians intercepte un arc orienté dont la mesure algébrique est x ; sa longueur géométrique est |x|. Un tour vaut 2π radians, un angle plat π et un angle droit π2. La conversion est 180° = π radians.
Au réel x, on associe le point M du cercle trigonométrique obtenu après une rotation d'angle x. Son abscisse est cos(x) et son ordonnée sin(x).
- cos2(x) + sin2(x) = 1.
- cos(−x) = cos(x) ; sin(−x) = −sin(x).
- cos(x + 2π) = cos(x) ; sin(x + 2π) = sin(x).
- cos(x + π) = −cos(x) ; sin(x + π) = −sin(x).
2. Valeurs remarquables
| x | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 |
| sin x | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 |
Placer les angles du premier quadrant, puis utiliser les symétries du cercle et les signes dans chaque quadrant. L'identité cos2 + sin2 = 1 permet de retrouver une coordonnée à partir de l'autre, mais le signe dépend du quadrant.
3. Équations trigonométriques
Pour tous réels x et a :
- cos(x) = cos(a) ⇔ x = 2kπ ± a, k ∈ ℤ ;
- sin(x) = sin(a) ⇔ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, k ∈ ℤ.
Résoudre cos(2x) = 12 sur [0 ; 2π]. Comme 12 = cos(π3), on a 2x = 2kπ ± π3, donc x = kπ ± π6. Dans [0 ; 2π], les solutions sont π6, 5π/6, 7π/6 et 11π/6.
4. Dérivées et variations
(sin x)' = cos x ; (cos x)' = −sin x.
Par composition : [sin(u)]' = u'cos(u) et [cos(u)]' = −u'sin(u).
- Sur [0 ; 2π], sinus croît de 0 à 1 sur [0 ; π2], décroît de 1 à −1 sur [π2 ; 3π/2], puis croît de −1 à 0 sur [3π/2 ; 2π].
- Sur [0 ; 2π], cosinus décroît de 1 à −1 sur [0 ; π], puis croît de −1 à 1 sur [π ; 2π].
Les courbes se prolongent par périodicité de période 2π. La courbe du cosinus, fonction paire, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; celle du sinus, fonction impaire, est symétrique par rapport à l'origine. Elles ont la même forme décalée : cos(x) = sin(x + π2).
- Trouver une période, généralement 2π ou une fraction de 2π.
- Étudier la fonction sur un intervalle d'une période.
- Utiliser éventuellement parité et symétries pour réduire l'étude.
- Prolonger le tableau ou le tracé par périodicité.
f(x) = sin(2x) a pour période π, car sin(2(x + π)) = sin(2x + 2π) = sin(2x). Sa dérivée est 2cos(2x). Sur [0 ; π], elle s'annule en π4 et 3π/4 ; le signe du cosinus donne les variations.
Résolvons cos(x) ≤ 12 sur [−π ; π]. Les égalités cos(x) = 12 ont pour solutions −π3 et π3 dans cet intervalle. Sur le cercle, l'abscisse est inférieure ou égale à 12 en dehors de l'arc central compris entre ces deux angles. Ainsi :
x ∈ [−π ; −π3] ∪ [π3 ; π].
Un dessin du cercle et un contrôle avec x = 0, pour lequel cos 0 = 1, évitent d'inverser la zone solution.
5. Formules d'addition utiles
- cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b ;
- cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b ;
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b ;
- sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b.
En particulier, cos(2x) = cos2x − sin2x = 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x.
6. Limites trigonométriques
limx→0 sin(x)x = 1.
On en déduit limx→0 [1 − cos(x)]/x2 = 12, grâce à 1 − cos x = 2sin2(x2).
limx→0 sin(3x)x = 3 × lim sin(3x)3x = 3.
- Utiliser des degrés dans les dérivées et limites : ces formules supposent les radians.
- Oublier les familles de solutions ou le second angle pour une équation de sinus.
- Écrire (cos u)' = sin u : il manque le signe moins et le facteur u'.
- Déduire le signe du sinus ou du cosinus sans repérer le quadrant.