Exercices corrigés — Fonctions trigonométriques (Terminale)

l'équation équivaut à sin(x) = −12. Comme sin(π6) = 12 et que le sinus est impair, −12 = sin(−π6) : l'équation s'écrit sin(x) = sin(−π6).
Solutions dans ℤ : x = −π6 + 2kπ ou x = π − (−π6) + 2kπ = 7π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ.
Dans [0 ; 2π] : la première famille donne, pour k = 1, −π6 + 2π = 11π/6 (et −π6 lui-même est exclu, étant négatif) ; la seconde donne, pour k = 0, 7π/6.
Solutions : {7π/6 ; 11π/6}. Vérification : sin(7π/6) = sin(π + π6) = −sin(π6) = −12. Les deux points sont dans la moitié inférieure du cercle, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

f est un produit uv avec u(x) = e^x, u'(x) = e^x, et v(x) = cos(2x). Pour v, on dérive une composée : [cos(w)]' = −w' sin(w) avec w(x) = 2x, w' = 2, donc v'(x) = −2 sin(2x).
Formule du produit (uv)' = u'v + uv' : f'(x) = e^xcos(2x) + e^x × (−2 sin(2x)) = e^xcos(2x) − 2e^xsin(2x).
On factorise par e^x, toujours strictement positif : f'(x) = e^x[cos(2x) − 2 sin(2x)]. Le signe de f' est donc celui du crochet. Deux erreurs à éviter : oublier le facteur 2 issu de 2x, et oublier le signe moins de la dérivée du cosinus.