Exercices corrigés — Fonctions trigonométriques (Terminale)

on ramène chaque angle à un angle du premier quadrant grâce aux symétries du cercle trigonométrique.
cos(5π/6) : 5π/6 = π − π6, et cos(π − a) = −cos a, donc cos(5π/6) = −cos(π6) = −√32. Le point associé est dans le deuxième quadrant, où l'abscisse est négative.
sin(−π4) : le sinus est impair, sin(−a) = −sin a, donc sin(−π4) = −sin(π4) = −√22.
cos(7π/3) : 7π/3 = π3 + 2π, et le cosinus est périodique de période 2π, donc cos(7π/3) = cos(π3) = 12.
sin(3π/2) : le point associé à 3π/2 est le point (0 ; −1) du cercle, donc sin(3π/2) = −1 (et cos(3π/2) = 0).

on reconnaît une valeur remarquable : √32 = sin(π3). L'équation s'écrit sin(x) = sin(π3).
Dans ℤ, les solutions sont de deux familles : x = π3 + 2kπ ou x = π − π3 + 2kπ = 2π/3 + 2kπ, avec k ∈ ℤ. Sur le cercle, ce sont les deux points d'ordonnée √32, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Dans [−π ; π] : pour k = 0, on obtient π3 et 2π/3, qui conviennent ; pour k = 1 ou k = −1, les valeurs π3 ± 2π et 2π/3 ± 2π sortent de l'intervalle.
Solutions : {π3 ; 2π/3}. Oublier la seconde famille π − a est l'erreur la plus fréquente pour une équation en sinus.

l'équation équivaut à sin(x) = −12. Comme sin(π6) = 12 et que le sinus est impair, −12 = sin(−π6) : l'équation s'écrit sin(x) = sin(−π6).
Solutions dans ℤ : x = −π6 + 2kπ ou x = π − (−π6) + 2kπ = 7π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ.
Dans [0 ; 2π] : la première famille donne, pour k = 1, −π6 + 2π = 11π/6 (et −π6 lui-même est exclu, étant négatif) ; la seconde donne, pour k = 0, 7π/6.
Solutions : {7π/6 ; 11π/6}. Vérification : sin(7π/6) = sin(π + π6) = −sin(π6) = −12. Les deux points sont dans la moitié inférieure du cercle, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

f est un produit uv avec u(x) = e^x, u'(x) = e^x, et v(x) = cos(2x). Pour v, on dérive une composée : [cos(w)]' = −w' sin(w) avec w(x) = 2x, w' = 2, donc v'(x) = −2 sin(2x).
Formule du produit (uv)' = u'v + uv' : f'(x) = e^xcos(2x) + e^x × (−2 sin(2x)) = e^xcos(2x) − 2e^xsin(2x).
On factorise par e^x, toujours strictement positif : f'(x) = e^x[cos(2x) − 2 sin(2x)]. Le signe de f' est donc celui du crochet. Deux erreurs à éviter : oublier le facteur 2 issu de 2x, et oublier le signe moins de la dérivée du cosinus.

a) h(−x) = sin(−x) cos(−x) = (−sin x)(cos x) = −h(x) : h est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. h(x + π) = sin(x + π) cos(x + π) = (−sin x)(−cos x) = h(x) : h est périodique de période π.
b) La formule d'addition sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b avec a = b = x donne sin(2x) = 2 sin x cos x. Donc h(x) = (12) sin(2x).
c) Pour tout réel, sin(2x) ≤ 1, donc h(x) ≤ 12. L'égalité sin(2x) = 1 a lieu pour 2x = π2 + 2kπ, soit x = π4 + kπ, k ∈ ℤ.
Le maximum de h est 12, atteint en π4 et en tous les réels qui en diffèrent d'un multiple de π, ce qui est cohérent avec la période trouvée en a). De même, le minimum −12 est atteint en −π4 + kπ.

a) [cos(2x)]' = −2 sin(2x) et [2 cos x]' = −2 sin x, donc f'(x) = −2 sin(2x) − 2 sin x. Avec sin(2x) = 2 sin x cos x : f'(x) = −4 sin x cos x − 2 sin x = −2 sin x (2 cos x + 1).
b) Sur [0 ; π], sin x ≥ 0, nul seulement en 0 et en π : le facteur −2 sin x est négatif ou nul. Le signe de f' est donc l'opposé de celui de 2 cos x + 1. Or 2 cos x + 1 = 0 ⇔ cos x = −12 ⇔ x = 2π/3 sur [0 ; π] ; comme le cosinus est décroissant sur [0 ; π], 2 cos x + 1 > 0 pour x < 2π/3 et < 0 pour x > 2π/3.
Ainsi f' ≤ 0 sur [0 ; 2π/3] et f' ≥ 0 sur [2π/3 ; π] : f est décroissante sur [0 ; 2π/3] puis croissante sur [2π/3 ; π].
Valeurs : f(0) = 1 + 2 = 3 ; f(2π/3) = cos(4π/3) + 2 cos(2π/3) = −12 + 2 × (−12) = −32 ; f(π) = cos(2π) + 2 cos π = 1 − 2 = −1. Le minimum de f sur [0 ; π] est −32, atteint en 2π/3, et son maximum est 3, atteint en 0.

en 0, le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 : forme 00. On fait apparaître la limite de référence sin(u)u → 1 quand u → 0.
Pour x ≠ 0 proche de 0 : sin(5x)sin(2x) = [sin(5x)5x] × [2x/sin(2x)] × 5x2x = [sin(5x)5x] × [1sin(2x)/(2x)] × 52.
Quand x → 0, 5x → 0 et 2x → 0, donc sin(5x)5x → 1 et sin(2x)2x → 1.
Par produit et quotient, la limite est 1 × 1 × 52 = 52. Retenir : au voisinage de 0, sin(ax) se comporte comme ax, d'où le rapport des coefficients 52.

en 0, 1 − cos(4x) → 0 et x² → 0 : forme 00. On utilise la limite de référence [1 − cos(u)]/u² → 12, qui découle de 1 − cos u = 2 sin²(u2) : [1 − cos u]/u² = (12)[sin(u2)/(u2)]² → 12.
Posons u = 4x, donc x = u4 et x² = u²16 ; quand x → 0, u → 0.
[1 − cos(4x)]/x² = [1 − cos u]/(u²16) = 16 × [1 − cos u]/u² → 16 × 12 = 8.
La limite est 8. Vérification numérique : pour x = 0,01, 1 − cos(0,04) ≈ 7,9989 × 10⁻⁴, et divisé par 10⁻⁴ cela donne environ 7,999.