Exercices corrigés — Fonction logarithme népérien (Terminale)

a) Diminuer de 20 %, c'est multiplier par 1 − 0,2 = 0,8 : Q_n+1 = 0,8Q_n. La suite (Q_n) est géométrique de raison 0,8 et de premier terme 500, donc Q_n = 500 × 0,8ⁿ.
b) On cherche le plus petit entier n tel que 500 × 0,8ⁿ < 5, soit 0,8ⁿ < 0,01.
La fonction ln étant strictement croissante, cette inégalité équivaut à ln(0,8ⁿ) < ln 0,01, soit n ln 0,8 < ln 0,01. Or ln 0,8 < 0 (car 0,8 < 1) : en divisant par ce nombre négatif, le sens de l'inégalité change : n > ln 0,01ln 0,8 ≈ −4,605−0,223 ≈ 20,6.
Le premier entier qui convient est n = 21. Vérification : Q₂₀ = 500 × 0,8²⁰ ≈ 5,76 mg (encore au-dessus de 5) et Q₂₁ ≈ 4,61 mg. La quantité passe sous 5 mg au bout de 21 heures.

a) En 0⁺ : x → 0 et ln x → −∞, donc −ln x → +∞ et f(x) → +∞. En +∞, la forme est ∞ − ∞ ; on factorise : f(x) = x(1 − ln xx). Par croissances comparées, ln xx → 0, donc la parenthèse tend vers 1 et f(x) → +∞.
b) f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et f'(x) = 1 − 1x = x − 1x. Comme x > 0, f'(x) est du signe de x − 1 : négative sur ]0 ; 1[, nulle en 1, positive sur ]1 ; +∞[. f est strictement décroissante sur ]0 ; 1] et strictement croissante sur [1 ; +∞[ ; son minimum est f(1) = 1 − ln 1 = 1.
c) D'après le tableau de variations, pour tout x > 0, f(x) ≥ f(1) = 1, c'est-à-dire x − ln x ≥ 1, soit ln x ≤ x − 1, avec égalité seulement pour x = 1.
Interprétation : la droite y = x − 1 est la tangente à la courbe de ln au point d'abscisse 1, et la courbe de ln, fonction concave, est en dessous de toutes ses tangentes.