Fonction logarithme népérien — cours de Terminale

Définition et relation avec l'exponentielle, Propriétés algébriques, Dérivée, variations et limites, Limites de référence et croissances comparées Lecture ≈ 4 min.

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1. Définition et relation avec l'exponentielle

Définition

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante de ℝ sur ]0 ; +∞[. Sa fonction réciproque est le logarithme népérien, noté ln. Pour x > 0 et y réel :

ln(x) = y ⇔ e^y = x.

Conséquences

ln(1) = 0 ; ln(e) = 1.
e^ln(x) = x pour x > 0.
ln(e^x) = x pour tout réel x.
ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

2. Propriétés algébriques

Logarithme d'un produit

Pour a > 0, b > 0 et r réel :

ln(ab) = ln(a) + ln(b) ;
ln(ab) = ln(a) − ln(b) ;
ln(1a) = −ln(a) ;
ln(aⁿ) = n ln(a) pour tout entier n, et plus généralement ln(a^r) = r ln(a) quand la puissance réelle est définie.

Démonstration du produit

Posons x = ln(a) et y = ln(b). Alors a = e^x et b = e^y. Donc ab = e^x+y, d'où ln(ab) = x + y = ln(a) + ln(b).

Exemple

Simplifier ln(12) − ln(3) + 2ln(5) : ln(123) + ln(5²) = ln(4) + ln(25) = ln(100) = 2ln(10).

3. Dérivée, variations et limites

Dérivée

La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et :

(ln x)' = 1x.

Plus généralement, si u est dérivable et strictement positive, (ln u)' = u'/u.

Justification par fonction réciproque

Pour x > 0, e^ln(x) = x. En dérivant la composée : ln'(x)e^ln(x) = 1. Or e^ln(x) = x, donc ln'(x) = 1x.

Variations et limites

Comme 1x > 0, ln est strictement croissante. De plus :

lim_x→0⁺ ln(x) = −∞ ; lim_x→+∞ ln(x) = +∞.

La droite x = 0 est une asymptote verticale.

4. Limites de référence et croissances comparées

Résultats à connaître

lim_x→1 ln(x)x − 1 = 1.
lim_h→0 ln(1 + h)h = 1.
Pour tout entier n ≥ 1, ln(x)xⁿ → 0 lorsque x → +∞.
Pour tout entier n ≥ 1, xⁿln(x) → 0 lorsque x → 0⁺.

Retenir la hiérarchie

À l'infini, le logarithme croît moins vite que toute puissance positive, qui croît elle-même moins vite que l'exponentielle : ln(x) « x^a « e^x. Le symbole « indique ici une comparaison de croissance, pas une inégalité ponctuelle.

Exemple de limite

lim_x→+∞ [3x² + xln(x)]/x² = lim [3 + ln(x)x] = 3.

5. Équations et inéquations

Équation logarithmique

Déterminer les conditions d'existence des logarithmes.
Utiliser les propriétés pour réunir ou séparer les logarithmes.
Exploiter ln(A) = ln(B) ⇔ A = B, avec A, B strictement positifs.
Vérifier les solutions dans le domaine initial.

Exemple résolu

Résoudre ln(x − 1) + ln(x + 1) = ln 8.

Conditions : x − 1 > 0 et x + 1 > 0, donc x > 1.
ln[(x − 1)(x + 1)] = ln 8.
x² − 1 = 8, donc x² = 9 et x = −3 ou 3.
Seul 3 respecte x > 1. Solution : {3}.

Inéquation

Résoudre ln(2x − 1) ≤ 0. Domaine : x > 12. Comme ln est croissante et ln(1) = 0, l'inéquation équivaut à 0 < 2x − 1 ≤ 1, soit 12 < x ≤ 1.

6. Échelles logarithmiques et modélisation

Ordre de grandeur

Le logarithme transforme un produit en somme. C'est pourquoi des échelles logarithmiques décrivent des grandeurs variant sur plusieurs ordres de grandeur. Si une grandeur est multipliée par un facteur q à chaque période, le nombre n de périodes nécessaire pour atteindre un seuil S se détermine par des logarithmes.

Temps de doublement

Un capital croît de 3 % par an : C_n = C₀1,03ⁿ. Pour doubler, il faut 1,03ⁿ ≥ 2. En prenant le logarithme, n ln(1,03) ≥ ln 2. Comme ln(1,03) > 0, n ≥ ln 2ln 1,03 ≈ 23,45. Le premier nombre entier convenable est 24 ans.

Erreurs fréquentes

Écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b) : aucune formule n'existe pour une somme.
Oublier que l'argument d'un logarithme doit être strictement positif.
Écrire (ln u)' = 1u au lieu de u'/u.
Prendre un logarithme sans tenir compte du signe lorsqu'on résout une inéquation.

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