Exercices corrigés — Fonction logarithme népérien (Terminale)

a) ln a − ln b = ln(ab) : ln 8 − ln 2 = ln(82) = ln 4 = ln(2²) = 2 ln 2.
b) ln(e³) = 3 car ln(e^y) = y, et ln(1e) = −ln e = −1. La somme vaut 3 + (−1) = 2.
c) 3 ln 2 = ln(2³) = ln 8, puis ln 8 + ln 5 = ln 40 et ln 40 − ln 10 = ln(4010) = ln 4 = 2 ln 2.
d) √e = e¹², donc ln(√e) = 12. Plus généralement, ln(√a) = (12) ln a pour a > 0.

on isole l'exponentielle : e^3x = 72. Le second membre est strictement positif, comme l'exponentielle : l'équation peut avoir des solutions.
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, donc deux réels strictement positifs sont égaux si et seulement si leurs logarithmes le sont : e^3x = 72 ⇔ ln(e^3x) = ln(72) ⇔ 3x = ln(72).
D'où x = ln(72)/3 = ln 7 − ln 23 ≈ 0,418. L'équation a une unique solution.
Vérification : 2e^{3 × 0,418} ≈ 2 × 3,50 = 7. Si le second membre avait été négatif, par exemple 2e^3x = −7, l'équation n'aurait eu aucune solution.