Fonction logarithme népérien — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 5 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Définition et relation avec l'exponentielle
Définition
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante de ℝ sur ]0 ; +∞[. Sa fonction réciproque est le logarithme népérien, noté ln. Pour x > 0 et y réel :
ln(x) = y ⇔ ey = x.
Conséquences
- ln(1) = 0 ; ln(e) = 1.
- eln(x) = x pour x > 0.
- ln(ex) = x pour tout réel x.
- ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
2. Propriétés algébriques
Logarithme d'un produit
Pour a > 0, b > 0 et r réel :
- ln(ab) = ln(a) + ln(b) ;
- ln(ab) = ln(a) − ln(b) ;
- ln(1a) = −ln(a) ;
- ln(an) = n ln(a) pour tout entier n, et plus généralement ln(ar) = r ln(a) quand la puissance réelle est définie.
3. Dérivée, variations et limites
Dérivée
La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et :
(ln x)' = 1x.
Plus généralement, si u est dérivable et strictement positive, (ln u)' = u'/u.
Variations et limites
Comme 1x > 0, ln est strictement croissante. De plus :
limx→0+ ln(x) = −∞ ; limx→+∞ ln(x) = +∞.
La droite x = 0 est une asymptote verticale.
4. Limites de référence et croissances comparées
Résultats à connaître
- limx→1 ln(x)x − 1 = 1.
- limh→0 ln(1 + h)h = 1.
- Pour tout entier n ≥ 1, ln(x)xn → 0 lorsque x → +∞.
- Pour tout entier n ≥ 1, xnln(x) → 0 lorsque x → 0+.
6. Échelles logarithmiques et modélisation
Ordre de grandeur
Le logarithme transforme un produit en somme. C'est pourquoi des échelles logarithmiques décrivent des grandeurs variant sur plusieurs ordres de grandeur. Si une grandeur est multipliée par un facteur q à chaque période, le nombre n de périodes nécessaire pour atteindre un seuil S se détermine par des logarithmes.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Démonstration du produit
Posons x = ln(a) et y = ln(b). Alors a = ex et b = ey. Donc ab = ex+y, d'où ln(ab) = x + y = ln(a) + ln(b).
Méthode 2Justification par fonction réciproque
Pour x > 0, eln(x) = x. En dérivant la composée : ln'(x)eln(x) = 1. Or eln(x) = x, donc ln'(x) = 1x.
Méthode 3Retenir la hiérarchie
À l'infini, le logarithme croît moins vite que toute puissance positive, qui croît elle-même moins vite que l'exponentielle : ln(x) « xa « ex. Le symbole « indique ici une comparaison de croissance, pas une inégalité ponctuelle.
Méthode 4Équation logarithmique
- Déterminer les conditions d'existence des logarithmes.
- Utiliser les propriétés pour réunir ou séparer les logarithmes.
- Exploiter ln(A) = ln(B) ⇔ A = B, avec A, B strictement positifs.
- Vérifier les solutions dans le domaine initial.
Méthode 5Erreurs fréquentes
- Écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b) : aucune formule n'existe pour une somme.
- Oublier que l'argument d'un logarithme doit être strictement positif.
- Écrire (ln u)' = 1u au lieu de u'/u.
- Prendre un logarithme sans tenir compte du signe lorsqu'on résout une inéquation.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés