Exercices corrigés — Fonction logarithme népérien (Terminale)

a) Conditions d'existence : x > 0 et x + 3 > 0, soit x > 0. Sur ]0 ; +∞[, ln(x) + ln(x + 3) = ln[x(x + 3)], et l'équation devient ln(x² + 3x) = ln 10, soit x² + 3x = 10 car ln est strictement croissante.
x² + 3x − 10 = 0 : le discriminant vaut 9 + 40 = 49, les racines sont −3 − 72 = −5 et −3 + 72 = 2. La valeur −5 ne respecte pas la condition x > 0 : on l'écarte. Solution : {2}. Vérification : ln 2 + ln 5 = ln 10.
b) Condition d'existence : 2x − 3 > 0, soit x > 32. Comme 2 = ln(e²), l'équation s'écrit ln(2x − 3) = ln(e²), donc 2x − 3 = e² et x = 3 + e²2 ≈ 5,19.
Cette valeur est bien supérieure à 32 : c'est l'unique solution. Oublier la vérification du domaine en a) conduirait à donner deux solutions au lieu d'une.

pour tout réel x, x² + 1 > 0 : f est définie et dérivable sur ℝ. Avec (ln u)' = u'/u et u(x) = x² + 1, u' = 2x :
f'(x) = 2x/(x² + 1).
Le dénominateur est strictement positif, donc f'(x) est du signe de 2x, c'est-à-dire de x : négative sur ]−∞ ; 0[, nulle en 0, positive sur ]0 ; +∞[.
f est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[. Elle atteint son minimum en 0 : f(0) = ln 1 = 0. Aux bornes, x² + 1 → +∞, donc f(x) → +∞ en ±∞ par composition. La fonction est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.