Exercices corrigés — Fonction logarithme népérien (Terminale)

quand x → 0⁺, x → 0 et ln x → −∞ : la forme est 0 × (−∞), indéterminée.
Le résultat de croissances comparées du cours, xⁿ ln x → 0 en 0⁺ pour tout entier n ≥ 1, s'applique avec n = 1 : x ln x → 0.
Justification par changement de variable : posons t = −ln x. Quand x → 0⁺, t → +∞, et x = e^−t. Alors x ln x = −te^−t = −te^t. Par croissances comparées, te^t → 0, donc x ln x → 0.
Le produit tend vers 0 par valeurs négatives (x > 0 et ln x < 0 pour x < 1). Conséquence : la fonction x ↦ x ln x se prolonge par continuité en 0 en posant 0 ln 0 = 0.

a) Forme ∞∞. Posons t = √x, de sorte que x = t² et ln x = 2 ln t ; quand x → +∞, t → +∞. Alors ln(x)√x = 2 ln(t)t → 0 par croissances comparées. Le logarithme croît moins vite que toute puissance de x, même √x = x¹².
b) Forme ∞ − ∞. On factorise : x − 3 ln x = x(1 − 3 ln xx). Comme ln xx → 0, la parenthèse tend vers 1 et le produit vers +∞.
c) Forme 0 × (−∞). Par croissances comparées en 0⁺, xⁿ ln x → 0 pour n = 2 : la limite est 0.
d) Forme ∞ − ∞. On regroupe grâce à ln a − ln b = ln(ab) : ln(x² + 1) − ln x = ln[x² + 1x] = ln(x + 1x). Or x + 1x → +∞, et ln(X) → +∞ quand X → +∞ : par composition, la limite est +∞.